Explique o Teorema de Fubini, abordando as condições necessárias para que ele possa ser aplicado e mostrando de que forma ele associa o conceito de Integral Dupla com o de Integral Iterada.
Passo 1
Beleza, vamos falar sobre o Teorema de Fubini. Basicamente, esse teorema nos ajuda a calcular integrais duplas de forma mais simples usando integrais iteradas. Para entender isso, precisamos saber o que são integrais duplas e iteradas, além de quais condições precisamos para aplicar o Teorema de Fubini.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral dupla. Imagine que você tem uma função de duas variáveis, por exemplo,
, e quer calcular a área sob essa superfície no plano
. A integral dupla
faz exatamente isso sobre uma região
.
Passo 3
Agora, uma integral iterada é quando a gente quebra essa integral dupla em duas integrais simples, uma depois da outra. Por exemplo:
Aqui, a gente integra
em relação a
primeiro, mantendo
constante, e depois integra o resultado em relação a
.
Passo 4
O Teorema de Fubini nos diz que, sob certas condições, a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada. As principais condições são:
- Continuidade: A função
deve ser contínua na região . - Região Retangular:
deve ser um retângulo, ou seja, pode ser descrita como e . - Integração Absoluta: A integral de
sobre deve ser finita.
Passo 5
Por que essas condições? Basicamente, elas garantem que a ordem de integração não vai afetar o resultado final. Se a função for contínua e a região for bem comportada (retangular), podemos calcular a integral em qualquer ordem que der mais comodidade.
Passo 6
Então, como o Teorema de Fubini conecta a integral dupla com a iterada? Ele nos permite reescrever a integral dupla como uma integral iterada, facilitando o cálculo. Ou seja:
E ambas as formas são equivalentes pelo Teorema de Fubini, desde que as condições sejam satisfeitas.
Resposta
O Teorema de Fubini permite calcular integrais duplas como integrais iteradas, desde que a função seja contínua na região considerada, a região seja retangular e a integral absoluta seja finita. Assim, ele conecta o conceito de integral dupla com o de integral iterada, facilitando o cálculo ao permitir a divisão da integral em etapas mais simples.