Explique o Teorema de Fubini, abordando as condições necessárias para que ele possa ser aplicado e mostrando de que forma ele associa o conceito de Integral Dupla com o de Integral Iterada.

Passo 1

Beleza, vamos falar sobre o Teorema de Fubini. Basicamente, esse teorema nos ajuda a calcular integrais duplas de forma mais simples usando integrais iteradas. Para entender isso, precisamos saber o que são integrais duplas e iteradas, além de quais condições precisamos para aplicar o Teorema de Fubini.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral dupla. Imagine que você tem uma função de duas variáveis, por exemplo, f(x, y) , e quer calcular a área sob essa superfície no plano xy . A integral dupla integral duplaD f(x, y) , dx , dy faz exatamente isso sobre uma região D .

Passo 3

Agora, uma integral iterada é quando a gente quebra essa integral dupla em duas integrais simples, uma depois da outra. Por exemplo:
integrala^b ( integralc^d f(x, y) , dy ) dx
Aqui, a gente integra f(x, y) em relação a y primeiro, mantendo x constante, e depois integra o resultado em relação a x .

Passo 4

O Teorema de Fubini nos diz que, sob certas condições, a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada. As principais condições são:
  1. Continuidade: A função f(x, y) deve ser contínua na região D .
  2. Região Retangular: D deve ser um retângulo, ou seja, pode ser descrita como a <= x <= b e c <= y <= d .
  3. Integração Absoluta: A integral de |f(x, y)| sobre D deve ser finita.

Passo 5

Por que essas condições? Basicamente, elas garantem que a ordem de integração não vai afetar o resultado final. Se a função for contínua e a região for bem comportada (retangular), podemos calcular a integral em qualquer ordem que der mais comodidade.

Passo 6

Então, como o Teorema de Fubini conecta a integral dupla com a iterada? Ele nos permite reescrever a integral dupla como uma integral iterada, facilitando o cálculo. Ou seja:
integral duplaD f(x, y) , dx , dy = integrala^b ( integralc^d f(x, y) , dy ) dx = integralc^d ( integrala^b f(x, y) , dx ) dy
E ambas as formas são equivalentes pelo Teorema de Fubini, desde que as condições sejam satisfeitas.

Resposta

O Teorema de Fubini permite calcular integrais duplas como integrais iteradas, desde que a função seja contínua na região considerada, a região seja retangular e a integral absoluta seja finita. Assim, ele conecta o conceito de integral dupla com o de integral iterada, facilitando o cálculo ao permitir a divisão da integral em etapas mais simples.

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