Considere a função
e
a regiāo retangular
.
Calcule
Calcule
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A função
. - A região retangular
. Ou seja, os pontos com e . - A integral dupla a calcular é
O que é pedido: calcular o valor numérico exato da integral dupla sobre
. Aqui
é o elemento de área (ou seja,
quando escrevermos como integral iterada).
Passo 2
Como
é um retângulo, a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada (integração em
e
). Vou escrever a integral como iterada integrando primeiro em
e depois em
. Isso significa escrever explicitamente os limites:
Aqui, ao integrar em
com
fixo,
e
são tratados como constantes dentro da integral em
.
Passo 3
Separei o integrando para ver melhor:
Ao integrar em
com
fixo,
e
são constantes. Então a integral interna é
Passo 4
Calculo a primeira parcela da integral interna:
porque
é constante em relação a
. Agora
Portanto
Passo 5
Calculo a segunda parcela da integral interna:
Somando as duas parcelas obtemos a integral interna fechada:
Passo 6
Agora a integral dupla reduz-se à integral em
:
Vou separar em duas integrais mais simples:
Explico as fórmulas que vou usar:
-
. - Para
uso integração por partes: escolho e . Então e . A fórmula de integração por partes é . Aplicando:
Passo 7
Agora calculo cada termo definido:
- Para o primeiro termo,
- Para o segundo termo, usando o resultado da parte anterior multiplicado por
:
Passo 8
Somando os dois resultados:
Agrupando termos em
e
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Portanto o valor da integral é
Pode-se também fatorar
se desejar:
mas a forma
é clara e exata.