Considere a função f(x, y)=8 x+2 y e D a regiāo retangular D=[4,9] \times[2,4].
Calcule
\iint_{D}\left[f(x, y) \cdot e^{-y}\right] d A

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A função f(x,y)=8x+2y.
  • A região retangular D=[4,9]\times[2,4]. Ou seja, os pontos (x,y) com 4\le x\le9 e 2\le y\le4.
  • A integral dupla a calcular é
\iint_{D}\bigl[f(x,y)\cdot e^{-y}\bigr]\,dA.
O que é pedido: calcular o valor numérico exato da integral dupla sobre D. Aqui dA é o elemento de área (ou seja, dA = dx\,dy quando escrevermos como integral iterada).

Passo 2

Como D é um retângulo, a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada (integração em x e y). Vou escrever a integral como iterada integrando primeiro em x e depois em y. Isso significa escrever explicitamente os limites:
\iint_{D}\bigl[(8x+2y)e^{-y}\bigr]\,dA = \int_{y=2}^{4}\left(\int_{x=4}^{9}(8x+2y)e^{-y}\,dx\right)dy.
Aqui, ao integrar em x com y fixo, y e e^{-y} são tratados como constantes dentro da integral em x.

Passo 3

Separei o integrando para ver melhor:
(8x+2y)e^{-y}=8x\,e^{-y}+2y\,e^{-y}.
Ao integrar em x com y fixo, e^{-y} e y são constantes. Então a integral interna é
\int_{x=4}^{9}(8x+2y)e^{-y}\,dx = \int_{4}^{9}8x\,e^{-y}\,dx + \int_{4}^{9}2y\,e^{-y}\,dx.

Passo 4

Calculo a primeira parcela da integral interna:
\int_{4}^{9}8x\,e^{-y}\,dx = e^{-y}\int_{4}^{9}8x\,dx,
porque e^{-y} é constante em relação a x. Agora
\int_{4}^{9}8x\,dx = 8\left[\frac{x^2}{2}\right]_{4}^{9} =8\cdot\frac{81-16}{2} =8\cdot\frac{65}{2} =260.
Portanto
\int_{4}^{9}8x\,e^{-y}\,dx = 260\,e^{-y}.

Passo 5

Calculo a segunda parcela da integral interna:
\int_{4}^{9}2y\,e^{-y}\,dx =2y\,e^{-y}\int_{4}^{9}dx =2y\,e^{-y}\cdot(9-4) =10y\,e^{-y}.
Somando as duas parcelas obtemos a integral interna fechada:
\int_{x=4}^{9}(8x+2y)e^{-y}\,dx = 260\,e^{-y}+10y\,e^{-y} = e^{-y}(260+10y).

Passo 6

Agora a integral dupla reduz-se à integral em y:
\int_{y=2}^{4} e^{-y}(260+10y)\,dy.
Vou separar em duas integrais mais simples:
\int_{2}^{4}260\,e^{-y}\,dy + \int_{2}^{4}10y\,e^{-y}\,dy.
Explico as fórmulas que vou usar:
  • \displaystyle \int e^{-y}\,dy = -e^{-y}+C.
  • Para \displaystyle \int y\,e^{-y}\,dy uso integração por partes: escolho u=y e dv=e^{-y}dy. Então du=dy e v=-e^{-y}. A fórmula de integração por partes é \int u\,dv = uv - \int v\,du. Aplicando:
\int y\,e^{-y}\,dy = -y e^{-y} - \int (-e^{-y})\,dy = -y e^{-y} - e^{-y} + C = -e^{-y}(y+1)+C.

Passo 7

Agora calculo cada termo definido:
  1. Para o primeiro termo,
\int_{2}^{4}260\,e^{-y}\,dy = 260\bigl[-e^{-y}\bigr]_{2}^{4} =260\bigl(-e^{-4}+e^{-2}\bigr).
  1. Para o segundo termo, usando o resultado da parte anterior multiplicado por 10:
\int_{2}^{4}10y\,e^{-y}\,dy = 10\bigl[-e^{-y}(y+1)\bigr]_{2}^{4} =10\bigl(-e^{-4}(4+1)+e^{-2}(2+1)\bigr) =10\bigl(-5e^{-4}+3e^{-2}\bigr).

Passo 8

Somando os dois resultados:
260\bigl(-e^{-4}+e^{-2}\bigr) + 10\bigl(-5e^{-4}+3e^{-2}\bigr).
Agrupando termos em e^{-2} e e^{-4}:
  • Coeficiente de e^{-2}: 260 + 10\cdot3 = 260 + 30 = 290.
  • Coeficiente de e^{-4}: -260 + 10\cdot(-5) = -260 -50 = -310.
Portanto o valor da integral é
290\,e^{-2} - 310\,e^{-4}.
Pode-se também fatorar 10e^{-4} se desejar:
10\bigl(29\,e^{-2} - 31\,e^{-4}\bigr) =10e^{-4}\bigl(29e^{2}-31\bigr),
mas a forma 290e^{-2}-310e^{-4} é clara e exata.

Resposta

290\,e^{-2}-310\,e^{-4}

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