Determine (utilize integral dupla!) a área da regiāo plana delimitada pelas curvas \mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4,4 \mathrm{x} e \mathrm{y}=4,8 \mathrm{x}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região plana limitada pelas duas curvas dadas. Informações fornecidas:
  • As curvas são y = x^{2} - 4,4\,x e y = 4,8\,x.
  • A tarefa exige usar integral dupla para calcular a área.
As perguntas implícitas:
  • Encontrar os pontos de interseção das duas curvas.
  • Montar a integral dupla que representa a área da região limitada por essas curvas.
  • Calcular a integral e apresentar a área numérica (pode-se dar valor exato e aproximado).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção (peguei as expressões das curvas do enunciado).
Igualamos as duas expressões de y:
x^{2}-4,4\,x=4,8\,x.
Colocando todos os termos num lado:
x^{2}-9,2\,x=0.
Fatorando:
x(x-9,2)=0.
Portanto os valores de x onde as curvas se encontram são
x=0\quad\text{e}\quad x=9,2.
Os correspondentes valores de y em y=4,8x são
y(0)=0,\qquad y(9,2)=4,8\cdot 9,2=44,16.
Logo as interseções são (0,0) e (9,2,\,44,16).

Passo 3

Descrever a região e justificar o tipo de integral.
Para um x entre 0 e 9,2 temos que a reta y=4,8x fica acima da parábola y=x^{2}-4,4x (verificação rápida: em x=1 a reta dá 4,8 e a parábola dá 1-4,4=-3,4, então a reta está acima). Portanto a região R delimitada é
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 9,2,\; x^{2}-4,4x\le y\le 4,8x\}.
Conceito usado (aula rápida): a área de uma região plana R é dada pela integral dupla
\text{Área}(R)=\iint_{R} dA.Á
Se a região é descrita por a\le x\le b e g_1(x)\le y\le g_2(x), então a integral dupla se escreve como integral iterada
\iint_{R} dA=\int_{x=a}^{b}\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} dy\,dx.
Aqui dA é o elemento de área, e as funções g_1 e g_2 são as curvas inferior e superior em função de x.

Passo 4

Montar a integral iterada para a área (usei os limites e as funções que identifiquei no Passo 3):
\text{Área}=\int_{x=0}^{9,2}\int_{y=x^{2}-4,4x}^{4,8x} dy\,dx.Á
Avalio primeiro a integral interna em y:
\int_{y=x^{2}-4,4x}^{4,8x} dy = \bigl[y\bigr]_{y=x^{2}-4,4x}^{y=4,8x}=4,8x-(x^{2}-4,4x).
Simplificando o integrando:
4,8x-(x^{2}-4,4x)=-x^{2}+9,2x.
Então a integral se reduz a uma integral simples em x:
\text{Área}=\int_{0}^{9,2}\bigl(-x^{2}+9,2x\bigr)\,dx.Á
Aula rápida de integrais que usei:
  • \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq-1.
  • \displaystyle\int k\cdot f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx (constante sai da integral).
    Aplicando isso a -x^{2} e a 9,2x:
\int -x^{2}\,dx = -\frac{1}{3}x^{3},\qquad \int 9,2x\,dx = 9,2\cdot\frac{1}{2}x^{2}=4,6x^{2}.

Passo 5

Calcular a integral definida usando a primitiva encontrada:
\text{Área}=\left[-\frac{1}{3}x^{3}+4,6x^{2}\right]_{0}^{9,2}.Á
Para evitar erros de aproximação, converto 9,2 e os coeficientes em frações racionais exatas: 9,2=\dfrac{46}{5}, 4,6=\dfrac{23}{5}. Reescrevendo a primitiva em forma racional:
-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{23}{5}x^{2}.
Agora avalio em x=\dfrac{46}{5}. Calculemos x^{2} e x^{3} exatamente:
x^{2}=\left(\frac{46}{5}\right)^{2}=\frac{2116}{25},\qquad x^{3}=\left(\frac{46}{5}\right)^{3}=\frac{97336}{125}.
Substituindo:
\text{Área}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{97336}{125}+\frac{23}{5}\cdot\frac{2116}{25}.Á
Simplificando os fatores:
-\frac{97336}{375}+\frac{48668}{125}.
Colocando em denominador comum 375 (pois \dfrac{48668}{125}=\dfrac{48668\cdot 3}{375}=\dfrac{146004}{375}):
\text{Área}=\frac{146004-97336}{375}=\frac{48668}{375}.Á

Passo 6

Interpretar o resultado e fornecer aproximação decimal (útil na prova):
\text{Área}=\frac{48668}{375}\approx 129,781333\ldotsÁ
(onde a vírgula decimal foi usada conforme a notação do enunciado).

Resposta

\dfrac{48668}{375}\approx 129,781333\ldots

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