Determine (utilize integral dupla!) a área da regiāo plana delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região plana limitada pelas duas curvas dadas. Informações fornecidas:
- As curvas são
e . - A tarefa exige usar integral dupla para calcular a área.
As perguntas implícitas:
- Encontrar os pontos de interseção das duas curvas.
- Montar a integral dupla que representa a área da região limitada por essas curvas.
- Calcular a integral e apresentar a área numérica (pode-se dar valor exato e aproximado).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção (peguei as expressões das curvas do enunciado).
Igualamos as duas expressões de :
Igualamos as duas expressões de
Colocando todos os termos num lado:
Fatorando:
Portanto os valores de
onde as curvas se encontram são
Os correspondentes valores de
em
são
Logo as interseções são
e
.
Passo 3
Descrever a região e justificar o tipo de integral.
Para um entre
e
temos que a reta
fica acima da parábola
(verificação rápida: em
a reta dá
e a parábola dá
, então a reta está acima). Portanto a região
delimitada é
Para um
Conceito usado (aula rápida): a área de uma região plana
é dada pela integral dupla
Se a região é descrita por
e
, então a integral dupla se escreve como integral iterada
Aqui
é o elemento de área, e as funções
e
são as curvas inferior e superior em função de
.
Passo 4
Montar a integral iterada para a área (usei os limites e as funções que identifiquei no Passo 3):
Avalio primeiro a integral interna em
:
Simplificando o integrando:
Então a integral se reduz a uma integral simples em
:
Aula rápida de integrais que usei:
-
para . -
(constante sai da integral).
Aplicando isso ae a :
Passo 5
Calcular a integral definida usando a primitiva encontrada:
Para evitar erros de aproximação, converto
e os coeficientes em frações racionais exatas:
,
. Reescrevendo a primitiva em forma racional:
Agora avalio em
. Calculemos
e
exatamente:
Substituindo:
Simplificando os fatores:
Colocando em denominador comum
(pois
):
Passo 6
Interpretar o resultado e fornecer aproximação decimal (útil na prova):
(onde a vírgula decimal foi usada conforme a notação do enunciado).