Determine o volume do sólido limitado pela superficies
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
As perguntas são: qual é o volume do sólido e como montamos a integral que o calcula?
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Há duas superfícies em
: e . - Há planos verticais que restringem
e : . - Logo, a região de projeção no plano
é o retângulo .
Passo 2
Vamos entender a região em
. Os planos
e
fixam o intervalo de
, e
e
fixam o intervalo de
. Portanto a base sobre a qual o sólido se apoia é o retângulo
Passo 3
Precisamos saber qual superfície é o teto (top) e qual é o chão (bottom) do sólido para montar a integral
. Compare
com
no retângulo
.
Escolhendo um ponto de referência, por exemplo , obtemos
Escolhendo um ponto de referência, por exemplo
que é bem maior que
. Como
e
são positivos no retângulo,
em
. Então
é a superfície superior e
é a inferior em todo o domínio.
Passo 4
Regra para volume entre duas superfícies sobre uma região
:
Aqui
é o elemento de área no plano
. Como
é um retângulo, é conveniente usar a ordem
(ou
), com limites constantes.
Passo 5
Montando a integral com os limites dados:
Simplificando o integrando,
Portanto
Passo 6
Integramos primeiro em relação a
. Lembrete: para constantes
,
Aplicando com
e
,
Calcule os valores:
Efetuando as multiplicações:
Logo a integral dupla reduz-se à integral simples
Passo 7
Agora integramos em
. Antiderivadas:
Logo
Calcule em
:
Calcule em
:
Subtraindo,
Passo 8
Verificação rápida de consistência: o volume é positivo e tem ordem de magnitude razoável, já que a área da base é
e a altura média (diferença entre superfícies) é grande (valores de
bem maiores que
), então um volume na casa de milhares faz sentido.