Determine o volume do sólido limitado pela superficies
z=4+4 x^{2} y, z=1, x=2, x=6, y=4 \text { e } y=7

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
z=4+4x^{2}y,\quad z=1,\quad x=2,\quad x=6,\quad y=4,\quad y=7.
As perguntas são: qual é o volume do sólido e como montamos a integral que o calcula?
Informações relevantes dadas:
  • Há duas superfícies em z: \;z=4+4x^{2}y\; e \;z=1\;.
  • Há planos verticais que restringem x e y: \;x=2,\;x=6,\;y=4,\;y=7\;.
  • Logo, a região de projeção no plano xy é o retângulo \;D=\{(x,y)\mid 2\le x\le6,\;4\le y\le7\}.

Passo 2

Vamos entender a região em xy. Os planos \;x=2 e \;x=6\; fixam o intervalo de x, e \;y=4 e \;y=7\; fixam o intervalo de y. Portanto a base sobre a qual o sólido se apoia é o retângulo
D = \{(x,y)\mid 2\le x\le6,\;4\le y\le7\}.

Passo 3

Precisamos saber qual superfície é o teto (top) e qual é o chão (bottom) do sólido para montar a integral z_{top}-z_{bottom}. Compare \;z=4+4x^{2}y\; com \;z=1\; no retângulo D.
Escolhendo um ponto de referência, por exemplo (x,y)=(2,4), obtemos
z=4+4\cdot 2^{2}\cdot 4 = 4+4\cdot 4\cdot 4 = 4+64 = 68,
que é bem maior que 1. Como x^{2} e y são positivos no retângulo, \;4+4x^{2}y\ge 68\; em D. Então \;z=4+4x^{2}y\; é a superfície superior e \;z=1\; é a inferior em todo o domínio.

Passo 4

Regra para volume entre duas superfícies sobre uma região D:
V=\iint_{D}\big(z_{top}(x,y)-z_{bottom}(x,y)\big)\,dA.
Aqui dA é o elemento de área no plano xy. Como D é um retângulo, é conveniente usar a ordem \,dy\,dx (ou dx\,dy), com limites constantes.

Passo 5

Montando a integral com os limites dados:
V=\int_{x=2}^{6}\int_{y=4}^{7}\big((4+4x^{2}y)-1\big)\,dy\,dx.
Simplificando o integrando,
(4+4x^{2}y)-1 = 3+4x^{2}y.
Portanto
V=\int_{2}^{6}\int_{4}^{7}\big(3+4x^{2}y\big)\,dy\,dx.

Passo 6

Integramos primeiro em relação a y. Lembrete: para constantes a,b,
\int (a + b y)\,dy = a y + \frac{b}{2}y^{2} + C.
Aplicando com a=3 e b=4x^{2},
\int_{4}^{7}\big(3+4x^{2}y\big)\,dy = \Big[3y + 2x^{2}y^{2}\Big]_{y=4}^{y=7}.
Calcule os valores:
\Big(3\cdot 7 + 2x^{2}\cdot 7^{2}\Big) - \Big(3\cdot 4 + 2x^{2}\cdot 4^{2}\Big) = \big(21 + 2x^{2}\cdot 49\big) - \big(12 + 2x^{2}\cdot 16\big).
Efetuando as multiplicações:
21 + 98x^{2} - 12 - 32x^{2} = 9 + 66x^{2}.
Logo a integral dupla reduz-se à integral simples
V = \int_{2}^{6} \big(9 + 66x^{2}\big)\,dx.

Passo 7

Agora integramos em x. Antiderivadas:
\int 9\,dx = 9x,\qquad \int 66x^{2}\,dx = 66\cdot\frac{x^{3}}{3}=22x^{3}.
Logo
\int_{2}^{6}\big(9+66x^{2}\big)\,dx = \Big[9x + 22x^{3}\Big]_{x=2}^{x=6}.
Calcule em x=6:
9\cdot 6 + 22\cdot 6^{3} = 54 + 22\cdot 216 = 54 + 4752 = 4806.
Calcule em x=2:
9\cdot 2 + 22\cdot 2^{3} = 18 + 22\cdot 8 = 18 + 176 = 194.
Subtraindo,
V = 4806 - 194 = 4612.

Passo 8

Verificação rápida de consistência: o volume é positivo e tem ordem de magnitude razoável, já que a área da base é (6-2)\cdot(7-4)=4\cdot3=12 e a altura média (diferença entre superfícies) é grande (valores de z bem maiores que 1), então um volume na casa de milhares faz sentido.

Resposta

\,4612\,

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