Considere a função
Onde
é um número natural maior que zero
. Quero que você descubra o comportamento dessa função quando
cresce muito, ou seja, quando
.
Lembre-se que:
cresce mais lentamente que
Para
, vale a desigualdade
Interprete o seguinte problema para imaginar que
é como uma pessoa subindo uma escada bem devagar, enquanto
é um foguete decolando. Mesmo que a pessoa continue subindo, o foguete ficará tão longe que a razão entre os dois será “quase” zero.
Dito isso, use o Teorema do Confronto para mostrar que:
Para
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o Teorema do Confronto. Sabemos que
cresce muito mais devagar que
, então a ideia é encontrar duas funções que “enquadrem”
e cujos limites sejam iguais.
Passo 2
Para obter um limite inferior, note que para todo
vale
logo
Passo 3
Para o limite superior, usamos que para
temos
Isso é um fato clássico sobre taxas de crescimento (pode-se provar que
é crescente para
e
). Assim
Passo 4
Agora calculamos os limites das funções que enquadraram
:
Como
e ambas as “bordas” tendem a
, pelo Teorema do Confronto segue