Considere a função
rho(x)=ln (x)x
Onde x é um número natural maior que zero x in N. Quero que você descubra o comportamento dessa função quando x cresce muito, ou seja, quando x infty.
Lembre-se que:
ln (x) cresce mais lentamente que x
Para x >= 1, vale a desigualdade ln (x) <= x-1
Interprete o seguinte problema para imaginar que ln (x) é como uma pessoa subindo uma escada bem devagar, enquanto x é um foguete decolando. Mesmo que a pessoa continue subindo, o foguete ficará tão longe que a razão entre os dois será “quase” zero.
Dito isso, use o Teorema do Confronto para mostrar que:
lim x infty ln (x)x=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinftyln(x)x
usando o Teorema do Confronto. Sabemos que ln(x) cresce muito mais devagar que x, então a ideia é encontrar duas funções que “enquadrem” ln(x)/x e cujos limites sejam iguais.

Passo 2

Para obter um limite inferior, note que para todo x>=1 vale
ln(x)>=0,
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ln(x)x>=0

Passo 3

Para o limite superior, usamos que para x>=1 temos
ln(x)<=raizx
Isso é um fato clássico sobre taxas de crescimento (pode-se provar que g(x)=raizx-ln(x) é crescente para x>=4 e g(1)>0). Assim
ln(x)x<=raizxx =1raizx

Passo 4

Agora calculamos os limites das funções que enquadraram ln(x)/x:
limxtoinfty0=0, limxtoinfty1raizx=0
Como
0<=ln(x)x<=1raizx
e ambas as “bordas” tendem a 0, pelo Teorema do Confronto segue
limxtoinftyln(x)x=0

Resposta

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