Calcule as seguintes integrais:
integral0^2 d x(x-1)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^2dx(x-1)^2
O conteúdo aqui é análise de integrais impróprias com singularidade interna. Vamos identificar o ponto de descontinuidade e tratar a integral como limite.

Passo 2

Observamos que o integrando tem singularidade em x=1. Então escrevemos
integral0^2dx(x-1)^2 =limvarepsilonto0^+l( integral0^1-varepsilondx(x-1)^2 +integral1+varepsilon^2dx(x-1)^2 r)

Passo 3

Calculamos a parte de 0 até 1-varepsilon. Uma primitiva de 1(x-1)^2 é
-,1x-1
Logo,
integral0^1-varepsilondx(x-1)^2 =l[-1x-1r]0^,1-varepsilon =-1(1-varepsilon)-1+10-1 =1varepsilon-(-1) =1varepsilon+1
Quando varepsilonto0^+, esse termo to+infty.

Passo 4

Agora a parte de 1+varepsilon até 2:
integral1+varepsilon^2dx(x-1)^2 =l[-1x-1r]1+varepsilon^2 =-12-1+1(1+varepsilon)-1 =-1+1varepsilon =1varepsilon-1
Também diverge para +infty quando varepsilonto0^+.

Passo 5

Como ambas as parcelas divergem para +infty, a integral imprópria não converge.

Resposta

A integral diverge (não existe valor finito).

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