Considere a função f(x)=e^{-x^{2}}. Sabe-se que essa função não possui uma primitiva elementar simples, mas pode ser integrada aproximadamente por meio de sua expansão em série de Taylor. A integral desse tipo de função tem aplicações na Estatística, visto que envolve a integral conhecida como Gaussiana, sendo a base matemática da Distribuição Normal. A curva em forma de sino definida pela função \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}} é utilizada como Função Densidade de Probabilidade, que para ser válida, a área total sob essa curva na reta real deve ser exatamente 1.
Faça então o que pede os itens abaixo:
  1. Obtenha a expansão em série de Taylor de e^{-x^{2}} em torno de x=0.
  2. Utilize essa expansão para escrever a integral
I=\int_{0}^{2} e^{-x^{2}} d x
como uma soma infinita.
3. Obtenha explicitamente a expressão I_{n} da soma parcial truncada até o termo de ordem n.
4. Determine uma expressão geral para o erro R_{n}=\left|I-I_{n}\right| utilizando o resto da série alternada. Após, determine o menor valor de n que garanta que R_{n}<0.001.
5. Construa uma tabela numérica com valores aproximados de I_{n} com diferentes valores de n até que R_{n}<0.001.
6. Faça uma pesquisa e determine o valor exato da integral por meio da função erro erf(x) e então compare os valores que você obteve no item anterior com o valor exato da integral.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre a integral
I=\int_{0}^{2} e^{-x^{2}}\,dx.
Vou listar claramente o que se pede e quais informações temos:
  • Itens pedidos:
    1. Obter a expansão em série de Taylor de e^{-x^{2}} em torno de x=0.
    2. Usar essa expansão para escrever I como uma soma infinita (série).
    3. Escrever explicitamente a soma parcial I_{n} truncada até o termo de ordem n.
    4. Dar uma expressão geral para o erro R_{n}=\left|I-I_{n}\right| usando o resto da série alternada e encontrar o menor n que garanta R_{n}<0,001.
    5. Construir uma tabela numérica com valores aproximados de I_{n} para vários n até o erro ser <0,001.
    6. Mostrar o valor exato da integral usando a função erro \operatorname{erf}(x) e comparar com os I_{n}.
  • Informações úteis dadas/assumidas:
    • A série de Taylor de e^{t} é conhecida: e^{t}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!},\qquad\text{válida para todo }t\in\mathbb{R}.á
    • Podemos obter a série de e^{-x^{2}} substituindo t=-x^{2}.
    • Integração termo-a-termo de séries de potências é permitida aqui porque a série de potências de e^{-x^{2}} converge uniformemente em qualquer intervalo finito (por ser função inteira), então trocar soma e integral é válido.
  • A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Obter a expansão em série de Taylor de e^{-x^{2}} em torno de x=0.
  • Parto da série de e^{t}: e^{t}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}.
  • Substituo t=-x^{2}. Então e^{-x^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-x^{2})^{k}}{k!}.
  • Simplificando os expoentes e o sinal: e^{-x^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{k!}.
Explicação didática: cada termo vem de elevar -x^{2} à potência k, o que dá (-1)^{k}x^{2k}, e dividir por k! vem da série de e^{t}. Essa série é de potências em x com apenas potências pares x^{2k}.

Passo 3

Usar essa expansão para escrever a integral I como uma soma infinita (integrar termo a termo).
  • Como a série de potências converge uniformemente em [0,2], posso integrar termo a termo: I=\int_{0}^{2} e^{-x^{2}}\,dx=\int_{0}^{2}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{k!}\,dx =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{1}{k!}\int_{0}^{2}x^{2k}\,dx.
  • Calculo a integral elementar \displaystyle\int_{0}^{2}x^{2k}\,dx=\left[\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\right]_{0}^{2}=\frac{2^{2k+1}}{2k+1}.
  • Substituindo: I=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{1}{k!}\cdot\frac{2^{2k+1}}{2k+1} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{2^{2k+1}}{k!(2k+1)}.
Interpretação prática: cada termo da série original dá, após integrar, um termo da forma (-1)^{k}2^{2k+1}/(k!(2k+1)). Essa é a representação da integral como soma infinita.

Passo 4

Obter explicitamente I_{n} (soma parcial truncada até o termo de ordem n).
  • Defino a soma parcial até o índice n (isto é, incluindo o termo k=n): I_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{2^{2k+1}}{k!(2k+1)}.
  • Observação didática: o índice k conta quantos termos usamos; como a série tem apenas potências pares x^{2k}, o “termo de ordem n” aqui é o termo com k=n. Na prova, ao calcular manualmente, basta somar essas frações até o n-ésimo termo.

Passo 5

Determinar o erro R_{n}=\left|I-I_{n}\right| usando o resto da série alternada e encontrar o menor n que garanta R_{n}<0{,}001.
  • Observação sobre alternância e monotonia dos módulos dos termos:
    • A série obtida para I é alternada porque os sinais são (-1)^{k}.
    • Denotemos o módulo do termo k por a_{k}=\frac{2^{2k+1}}{k!(2k+1)}.
    • Para aplicar o Teorema da Série Alternada (Leibniz) e usar o resto estimado por um único termo, precisamos que a_{k} seja monótona decrescente para k suficientemente grande e que \lim_{k\to\infty}a_{k}=0. Ambas as condições são verdadeiras (o fatorial no denominador faz a_{k}\to0 rapidamente; a monotonia vale a partir de um k pequeno, e para nosso cálculo práctico a monotonia já vale para k\ge 6 aproximadamente).
    • Pelo Teorema da Série Alternada, se a_{k} é decrescente a partir de algum k e tende a zero, o resto truncado após n satisfaz R_{n}=\left|I-I_{n}\right|\le a_{n+1}.
    • Portanto podemos usar o termo seguinte como cota do erro: R_{n}\le a_{n+1}=\frac{2^{2(n+1)+1}}{(n+1)!\bigl(2(n+1)+1\bigr)} =\frac{2^{2n+3}}{(n+1)!(2n+3)}.
  • Agora precisamos do menor n tal que a_{n+1}<0{,}001.
    • Calculo (valores numéricos de a_{k}; mostro os primeiros relevantes): \begin{aligned} a_{10}&\approx 0{,}027523,\\\ a_{11}&\approx 0{,}009148,\\\ a_{12}&\approx 0{,}002804,\\\ a_{13}&\approx 0{,}000798. \end{aligned}(Esses valores vêm da fórmula a_{k}=\dfrac{2^{2k+1}}{k!(2k+1)}; pode-se calcular recursivamente por a_{k+1}=a_{k}\dfrac{4(2k+1)}{(k+1)(2k+3)}.)
    • Vemos que a_{12}\approx0{,}002804>0{,}001 e a_{13}\approx0{,}000798<0{,}001.
    • Portanto, para que R_{n}\le a_{n+1}<0{,}001 precisamos de n+1\ge 13, ou seja n\ge 12.
  • Conclusão: o menor n que garante R_{n}<0{,}001 é n_{\min}=12.

Passo 6

Construir uma tabela numérica com valores aproximados de I_{n} para diferentes n até que R_{n}<0{,}001. Para cada n listo I_{n}, a cota do erro a_{n+1} e o erro absoluto aproximado |I-I_{n}| (quando eu comparar com o valor exato no passo seguinte).
  • Vou listar I_{n} para n=0,1,\dots,12. (As aproximações são feitas com 6 casas decimais; a cota do erro vem do termo seguinte a_{n+1}.) \begin{array}{r|l|l|l} n & I_{n} & a_{n+1}\\ (\text{cota }R_{n}) & |I-I_{n}|\\ (\text{aprox})\\hline 0 & 2{,}000000 & 2{,}666667 & 1{,}117919\\\\ 1 & -0{,}666667 & 3{,}200000 & 1{,}548748\\\\ 2 & 2{,}533333 & 3{,}047619 & 1{,}651252\\\\ 3 & -0{,}514286 & 2{,}370370 & 1{,}396367\\\\ 4 & 1{,}856085 & 1{,}551515 & 0{,}974004\\\\ 5 & 0{,}304570 & 0{,}875214 & 0{,}577511\\\\ 6 & 1{,}179783 & 0{,}433392 & 0{,}297702\\\\ 7 & 0{,}746391 & 0{,}191273 & 0{,}135690\\\\ 8 & 0{,}937665 & 0{,}076048 & 0{,}055584\\\\ 9 & 0{,}861616 & 0{,}027524 & 0{,}020465\\\\ 10 & 0{,}889138 & 0{,}009148 & 0{,}007057\\\\ 11 & 0{,}879990 & 0{,}002804 & 0{,}002092\\\\ 12 & 0{,}882794 & 0{,}000798 & 0{,}000713\\\ \end{array}
  • Interpretação da tabela:
    • As colunas significam: I_{n} (soma parcial), a_{n+1} (cota do erro pelo resto da série alternada) e |I-I_{n}| (diferença numérica aproximada entre a soma parcial e o valor exato, que vou exibir e justificar no passo seguinte).
    • Observa-se que para n=12 a cota a_{13}\approx0{,}000798<0{,}001, portanto R_{12}<0{,}001. Logo a soma parcial I_{12} satisfaz a exigência do enunciado.

Passo 7

Valor exato da integral em termos da função erro \operatorname{erf} e comparação numérica.
  • A função erro é definida por \operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.Assim, para a nossa integral, I=\int_{0}^{2}e^{-x^{2}}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(2).
  • Valor numérico (usando tabela/valores conhecidos de \operatorname{erf}(2)): \operatorname{erf}(2)\approx 0{,}9953222650189527, \qquad \frac{\sqrt{\pi}}{2}\approx 0{,}8862269254527580,portanto I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(2)\approx 0{,}8820813907624215.
  • Comparação com a tabela:
    • Para n=11: I_{11}\approx0{,}879990 e |I-I_{11}|\approx0{,}002091>0{,}001.
    • Para n=12: I_{12}\approx0{,}882794 e |I-I_{12}|\approx0{,}000713<0{,}001.
  • Assim os I_{n} calculados convergem para o valor exato mostrado via \operatorname{erf}, e o n mínimo que garante erro menor que 0{,}001 é n=12, conforme estimativa pelo resto alternado.

Resposta

(1) \displaystyle e^{-x^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k}}{k!}.
(2) \displaystyle I=\int_{0}^{2}e^{-x^{2}}\,dx=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{2^{2k+1}}{k!(2k+1)}.
(3) \displaystyle I_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{2^{2k+1}}{k!(2k+1)}.
(4) Usando o resto da série alternada:
\displaystyle R_{n}=\left|I-I_{n}\right|\le a_{n+1} com
\displaystyle a_{n+1}=\frac{2^{2n+3}}{(n+1)!(2n+3)}.
O menor n que garante R_{n}<0{,}001 é n_{\min}=12.
(5) Tabela (valores aproximados):
n=0: I_{0}=2{,}000000, cota a_{1}=2{,}666667.
n=1: I_{1}=-0{,}666667, cota a_{2}=3{,}200000.
n=2: I_{2}=2{,}533333, cota a_{3}=3{,}047619.
n=3: I_{3}=-0{,}514286, cota a_{4}=2{,}370370.
n=4: I_{4}=1{,}856085, cota a_{5}=1{,}551515.
n=5: I_{5}=0{,}304570, cota a_{6}=0{,}875214.
n=6: I_{6}=1{,}179783, cota a_{7}=0{,}433392.
n=7: I_{7}=0{,}746391, cota a_{8}=0{,}191273.
n=8: I_{8}=0{,}937665, cota a_{9}=0{,}076048.
n=9: I_{9}=0{,}861616, cota a_{10}=0{,}027524.
n=10: I_{10}=0{,}889138, cota a_{11}=0{,}009148.
n=11: I_{11}=0{,}879990, cota a_{12}=0{,}002804.
n=12: I_{12}=0{,}882794, cota a_{13}=0{,}000798 (aqui a_{13}<0{,}001).
(6) Valor exato por função erro:
\displaystyle I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(2)\approx 0{,}8820813907624215.
Comparação: |I-I_{11}|\approx0{,}002091>0{,}001, |I-I_{12}|\approx0{,}000713<0{,}001. Portanto n=12 é o menor inteiro que garante a precisão exigida.

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