Considere a função
. Sabe-se que essa função não possui uma primitiva elementar simples, mas pode ser integrada aproximadamente por meio de sua expansão em série de Taylor. A integral desse tipo de função tem aplicações na Estatística, visto que envolve a integral conhecida como Gaussiana, sendo a base matemática da Distribuição Normal. A curva em forma de sino definida pela função
é utilizada como Função Densidade de Probabilidade, que para ser válida, a área total sob essa curva na reta real deve ser exatamente 1.
Faça então o que pede os itens abaixo:
- Obtenha a expansão em série de Taylor de
em torno de
.
- Utilize essa expansão para escrever a integral
como uma soma infinita.
3. Obtenha explicitamente a expressão
da soma parcial truncada até o termo de ordem
.
4. Determine uma expressão geral para o erro
utilizando o resto da série alternada. Após, determine o menor valor de
que garanta que
.
5. Construa uma tabela numérica com valores aproximados de
com diferentes valores de
até que
.
6. Faça uma pesquisa e determine o valor exato da integral por meio da função erro erf(x) e então compare os valores que você obteve no item anterior com o valor exato da integral.
3. Obtenha explicitamente a expressão
4. Determine uma expressão geral para o erro
5. Construa uma tabela numérica com valores aproximados de
6. Faça uma pesquisa e determine o valor exato da integral por meio da função erro erf(x) e então compare os valores que você obteve no item anterior com o valor exato da integral.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre a integral
Vou listar claramente o que se pede e quais informações temos:
- Itens pedidos:
- Obter a expansão em série de Taylor de
em torno de . - Usar essa expansão para escrever
como uma soma infinita (série). - Escrever explicitamente a soma parcial
truncada até o termo de ordem . - Dar uma expressão geral para o erro
usando o resto da série alternada e encontrar o menor que garanta . - Construir uma tabela numérica com valores aproximados de
para vários até o erro ser . - Mostrar o valor exato da integral usando a função erro
e comparar com os .
- Obter a expansão em série de Taylor de
- Informações úteis dadas/assumidas:
- A série de Taylor de
é conhecida: - Podemos obter a série de
substituindo . - Integração termo-a-termo de séries de potências é permitida aqui porque a série de potências de
converge uniformemente em qualquer intervalo finito (por ser função inteira), então trocar soma e integral é válido.
- A série de Taylor de
- A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Obter a expansão em série de Taylor de
em torno de
.
- Parto da série de
: - Substituo
. Então - Simplificando os expoentes e o sinal:
Explicação didática: cada termo vem de elevar
à potência
, o que dá
, e dividir por
vem da série de
. Essa série é de potências em
com apenas potências pares
.
Passo 3
Usar essa expansão para escrever a integral
como uma soma infinita (integrar termo a termo).
- Como a série de potências converge uniformemente em
, posso integrar termo a termo: - Calculo a integral elementar
. - Substituindo:
Interpretação prática: cada termo da série original dá, após integrar, um termo da forma
. Essa é a representação da integral como soma infinita.
Passo 4
Obter explicitamente
(soma parcial truncada até o termo de ordem
).
- Defino a soma parcial até o índice
(isto é, incluindo o termo ): - Observação didática: o índice
conta quantos termos usamos; como a série tem apenas potências pares , o “termo de ordem ” aqui é o termo com . Na prova, ao calcular manualmente, basta somar essas frações até o -ésimo termo.
Passo 5
Determinar o erro
usando o resto da série alternada e encontrar o menor
que garanta
.
- Observação sobre alternância e monotonia dos módulos dos termos:
- A série obtida para
é alternada porque os sinais são . - Denotemos o módulo do termo
por - Para aplicar o Teorema da Série Alternada (Leibniz) e usar o resto estimado por um único termo, precisamos que
seja monótona decrescente para suficientemente grande e que . Ambas as condições são verdadeiras (o fatorial no denominador faz rapidamente; a monotonia vale a partir de um pequeno, e para nosso cálculo práctico a monotonia já vale para aproximadamente). - Pelo Teorema da Série Alternada, se
é decrescente a partir de algum e tende a zero, o resto truncado após satisfaz - Portanto podemos usar o termo seguinte como cota do erro:
- A série obtida para
- Agora precisamos do menor
tal que . - Calculo (valores numéricos de
; mostro os primeiros relevantes): (Esses valores vêm da fórmula ; pode-se calcular recursivamente por .) - Vemos que
e . - Portanto, para que
precisamos de , ou seja .
- Calculo (valores numéricos de
- Conclusão: o menor
que garante é
Passo 6
Construir uma tabela numérica com valores aproximados de
para diferentes
até que
. Para cada
listo
, a cota do erro
e o erro absoluto aproximado
(quando eu comparar com o valor exato no passo seguinte).
- Vou listar
para . (As aproximações são feitas com 6 casas decimais; a cota do erro vem do termo seguinte .) - Interpretação da tabela:
- As colunas significam:
(soma parcial), (cota do erro pelo resto da série alternada) e (diferença numérica aproximada entre a soma parcial e o valor exato, que vou exibir e justificar no passo seguinte). - Observa-se que para
a cota , portanto . Logo a soma parcial satisfaz a exigência do enunciado.
- As colunas significam:
Passo 7
Valor exato da integral em termos da função erro
e comparação numérica.
- A função erro é definida por
Assim, para a nossa integral, - Valor numérico (usando tabela/valores conhecidos de
): portanto - Comparação com a tabela:
- Para
: e . - Para
: e .
- Para
- Assim os
calculados convergem para o valor exato mostrado via , e o mínimo que garante erro menor que é , conforme estimativa pelo resto alternado.
Resposta
(1)
(2)
(3)
(4) Usando o resto da série alternada:
com
O menor que garante
é
.
O menor
(5) Tabela (valores aproximados):
n=0: , cota
.
n=1: , cota
.
n=2: , cota
.
n=3: , cota
.
n=4: , cota
.
n=5: , cota
.
n=6: , cota
.
n=7: , cota
.
n=8: , cota
.
n=9: , cota
.
n=10: , cota
.
n=11: , cota
.
n=12: , cota
(aqui
).
n=0:
n=1:
n=2:
n=3:
n=4:
n=5:
n=6:
n=7:
n=8:
n=9:
n=10:
n=11:
n=12:
(6) Valor exato por função erro:
Comparação: ,
. Portanto
é o menor inteiro que garante a precisão exigida.
Comparação: