A ideia desta questão é fazer a integral da função
, de
até
usando limite das somas superiores e inferiores (também conhecidas como somas de Darboux). Para isso, faça os seguintes passos:
- Por meio de uma partição equilibrada
do intervalo [ 0,2 ], divida o intervalo em
subintervalos de mesmo comprimento
. Explique que
é crescente em
e então escreva em termos de
como ficam as expressões de
e
.
- Usando algum recurso computacional ou programa, faça uma tabela exibindo o cálculo de ambas as somas para
e
.
- Escreva em termos de
como fica a diferença
. Determine inclusive um valor de
para que o erro seja menor do que 0,001 .
- Mostre que
é descrecente e
é crescente ao
e então calcule inf
e
. Use para isso que
.
- Compare os valores obtidos com o valor exato da integral de
obtido com o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais dados foram fornecidos.
-
O enunciado pede calcular a integral de
em usando somas superiores e inferiores (somas de Darboux) com uma partição equilibrada em subintervalos. -
Pedidos detalhados:
- Fazer uma partição equilibrada
de em subintervalos de comprimento . Explicar que é crescente em e escrever em termos de as expressões de (soma superior) e (soma inferior). - Calcular numericamente
e para e apresentar em forma de tabela. - Escrever em termos de
a diferença e determinar um tal que essa diferença (erro) seja menor que . - Mostrar que
é decrescente e é crescente quando , e determinar e . Pode-se usar . - Comparar os valores obtidos com o valor exato da integral calculada pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
- Fazer uma partição equilibrada
-
Informação extra que vamos usar: a soma dos quadrados de inteiros até
,
Passo 2
Definição da partição equilibrada e propriedades de
.
- Partição equilibrada
: dividir em subintervalos de mesmo comprimento. - O comprimento de cada subintervalo é
-
Pontos da partição:
para . Assim o -ésimo subintervalo é . -
Observação sobre monotonicidade:
é crescente em porque para tem-se . Consequência prática para Darboux: - Em cada subintervalo
a mínima de ocorre em e a máxima em . - Logo as somas inferiores e superiores (para esta partição uniforme) são:
- soma inferior:
; - soma superior:
.
- soma inferior:
- Em cada subintervalo
Passo 3
Escrever
e
em termos de
, manipulando as somas.
- Primeiro escrevemos
e . - Soma superior:
Usando
obtemos
Podemos simplificar esta expressão:
Desenvolvendo e dividindo por
resulta em forma explícita
- Soma inferior:
Fazendo a mudança de índice
temos
. Portanto
e, simplificando,
- Conferência rápida: a diferença
fica simples (veremos no próximo passo).
Passo 4
Calcule numericamente
e
para
e apresente na tabela (faço as contas passo a passo).
- Fórmulas utilizadas (já obtidas):
- Para
: -
, -
, -
. - Logo
-
- Para
: -
, -
. - Logo
-
- Para
: -
, -
. - Logo
-
- Tabela resumida (valores arredondados a 6 casas decimais):
-
. -
. -
.
-
Passo 5
Calcule a diferença
em termos de
e determine
para erro menor que
.
- Pela forma encontrada,
- Queremos
. Então
- O menor inteiro
que satisfaz a condição é (para a diferença é , não estritamente menor).
Passo 6
Mostre que
é decrescente e
é crescente quando
; calcule
e
.
- Temos fórmulas explícitas:
- Observação sobre monotonicidade:
- Para
os termos e diminuem quando aumenta. Assim é soma de com termos positivos que diminuem com , logo é decrescente em . - Para
, o termo aumenta (isto é, torna-se menos negativo) quando aumenta e diminui, sendo o efeito combinado que cresce com . Formalmente, pode-se também usar a expressão fechada para verificar para .
- Para
- Limites quando
: - Como
e , obtemos
- Como
- Portanto
Passo 7
Comparação com o valor exato da integral via Teorema Fundamental do Cálculo.
- Cálculo exato:
- Conclusão: os limites das somas superiores e inferiores coincidem com o valor exato da integral; ou seja, por Darboux/Riemann,
Resposta
Tabela numérica:
Diferença
Valor exato da integral: