A ideia desta questão é fazer a integral da função f(x)=x^{2}, de x=0 até x=2 usando limite das somas superiores e inferiores (também conhecidas como somas de Darboux). Para isso, faça os seguintes passos:
  1. Por meio de uma partição equilibrada P do intervalo [ 0,2 ], divida o intervalo em n subintervalos de mesmo comprimento \Delta x. Explique que f é crescente em [0,2] e então escreva em termos de n como ficam as expressões de S(f, P) e s(f, P).
  2. Usando algum recurso computacional ou programa, faça uma tabela exibindo o cálculo de ambas as somas para n=10, n=50 e n=100.
  3. Escreva em termos de n como fica a diferença S(f, P)-s(f, P). Determine inclusive um valor de n para que o erro seja menor do que 0,001 .
  4. Mostre que S(f, P) é descrecente e s(f, P) é crescente ao n \rightarrow \infty e então calcule inf S(f, P) e \sup s(f, P). Use para isso que \sum_{i=0}^{n} i^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}.
  5. Compare os valores obtidos com o valor exato da integral de f obtido com o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais dados foram fornecidos.
  • O enunciado pede calcular a integral de f(x)=x^{2} em [0,2] usando somas superiores e inferiores (somas de Darboux) com uma partição equilibrada em n subintervalos.
  • Pedidos detalhados:
    1. Fazer uma partição equilibrada P de [0,2] em n subintervalos de comprimento \Delta x. Explicar que f é crescente em [0,2] e escrever em termos de n as expressões de S(f,P) (soma superior) e s(f,P) (soma inferior).
    2. Calcular numericamente S(f,P) e s(f,P) para n=10,\;50,\;100 e apresentar em forma de tabela.
    3. Escrever em termos de n a diferença S(f,P)-s(f,P) e determinar um n tal que essa diferença (erro) seja menor que 0,001.
    4. Mostrar que S(f,P) é decrescente e s(f,P) é crescente quando n\to\infty, e determinar \inf S(f,P) e \sup s(f,P). Pode-se usar \sum_{i=0}^{n} i^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
    5. Comparar os valores obtidos com o valor exato da integral calculada pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
  • Informação extra que vamos usar: a soma dos quadrados de inteiros até n,
\sum_{i=0}^{n} i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Passo 2

Definição da partição equilibrada e propriedades de f.
  • Partição equilibrada P: dividir [0,2] em n subintervalos de mesmo comprimento.
  • O comprimento de cada subintervalo é
\Delta x=\frac{2-0}{n}=\frac{2}{n}.
  • Pontos da partição: x_{i}=0+i\Delta x=\dfrac{2i}{n} para i=0,1,\dots,n. Assim o i-ésimo subintervalo é \big[x_{i-1},x_{i}\big]=\left[\dfrac{2(i-1)}{n},\dfrac{2i}{n}\right].
  • Observação sobre monotonicidade: f(x)=x^{2} é crescente em [0,2] porque para x\ge0 tem-se f'(x)=2x\ge0. Consequência prática para Darboux:
    • Em cada subintervalo \big[x_{i-1},x_i\big] a mínima de f ocorre em x_{i-1} e a máxima em x_i.
    • Logo as somas inferiores e superiores (para esta partição uniforme) são:
      • soma inferior: s(f,P)=\sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x;
      • soma superior: S(f,P)=\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\Delta x.

Passo 3

Escrever s(f,P) e S(f,P) em termos de n, manipulando as somas.
  • Primeiro escrevemos f(x_{i})=\left(\dfrac{2i}{n}\right)^{2}=\dfrac{4i^{2}}{n^{2}} e f(x_{i-1})=\dfrac{4(i-1)^{2}}{n^{2}}.
  • Soma superior:
S(f,P)=\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\Delta x =\sum_{i=1}^{n}\frac{4i^{2}}{n^{2}}\cdot\frac{2}{n} =\frac{8}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n} i^{2}.
Usando \sum_{i=1}^{n} i^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} obtemos
S(f,P)=\frac{8}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Podemos simplificar esta expressão:
S(f,P)=\frac{4}{3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{n^{3}}.
Desenvolvendo e dividindo por n^{3} resulta em forma explícita
S(f,P)=\frac{8}{3}+\frac{4}{n}+\frac{4}{3n^{2}}.
  • Soma inferior:
s(f,P)=\sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x =\sum_{i=1}^{n}\frac{4(i-1)^{2}}{n^{2}}\cdot\frac{2}{n} =\frac{8}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n}(i-1)^{2}.
Fazendo a mudança de índice j=i-1 temos \sum_{i=1}^{n}(i-1)^{2}=\sum_{j=0}^{n-1} j^{2}=\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}. Portanto
s(f,P)=\frac{8}{n^{3}}\cdot\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}
e, simplificando,
s(f,P)=\frac{8}{3}-\frac{4}{n}+\frac{4}{3n^{2}}.
  • Conferência rápida: a diferença S(f,P)-s(f,P) fica simples (veremos no próximo passo).

Passo 4

Calcule numericamente S(f,P) e s(f,P) para n=10,\;50,\;100 e apresente na tabela (faço as contas passo a passo).
  • Fórmulas utilizadas (já obtidas):
S_n:=S(f,P)=\frac{8}{3}+\frac{4}{n}+\frac{4}{3n^{2}}, \qquad s_n:=s(f,P)=\frac{8}{3}-\frac{4}{n}+\frac{4}{3n^{2}}.
  • Para n=10:
    • \dfrac{8}{3}=2,\!666666\ldots,
    • \dfrac{4}{10}=0,\!4,
    • \dfrac{4}{3\cdot 10^{2}}=\dfrac{4}{300}=0,\!013333\ldots.
    • Logo
    S_{10}=2,\!666666\ldots+0,\!4+0,\!013333\ldots=3,\!080000\ldots
s_{10}=2,\!666666\ldots-0,\!4+0,\!013333\ldots=2,\!280000\ldots
  • Para n=50:
    • \dfrac{4}{50}=0,\!08,
    • \dfrac{4}{3\cdot 50^{2}}=\dfrac{4}{7500}\approx0,\!000533333\ldots.
    • Logo
    S_{50}\approx2,\!666666\ldots+0,\!08+0,\!000533333\ldots=2,\!747200\ldots
s_{50}\approx2,\!666666\ldots-0,\!08+0,\!000533333\ldots=2,\!587200\ldots
  • Para n=100:
    • \dfrac{4}{100}=0,\!04,
    • \dfrac{4}{3\cdot 100^{2}}=\dfrac{4}{30000}\approx0,\!000133333\ldots.
    • Logo
    S_{100}\approx2,\!666666\ldots+0,\!04+0,\!000133333\ldots=2,\!706800\ldots
s_{100}\approx2,\!666666\ldots-0,\!04+0,\!000133333\ldots=2,\!626800\ldots
  • Tabela resumida (valores arredondados a 6 casas decimais):
    • n=10:\quad S_{10}=3,\!080000,\quad s_{10}=2,\!280000.
    • n=50:\quad S_{50}\approx2,\!747200,\quad s_{50}\approx2,\!587200.
    • n=100:\quad S_{100}\approx2,\!706800,\quad s_{100}\approx2,\!626800.

Passo 5

Calcule a diferença S(f,P)-s(f,P) em termos de n e determine n para erro menor que 0,001.
  • Pela forma encontrada,
S_n-s_n=\left(\frac{8}{3}+\frac{4}{n}+\frac{4}{3n^{2}}\right)-\left(\frac{8}{3}-\frac{4}{n}+\frac{4}{3n^{2}}\right)=\frac{8}{n}.
  • Queremos \dfrac{8}{n}<0,001. Então
n>\frac{8}{0{,}001}=8000.
  • O menor inteiro n que satisfaz a condição é n=8001 (para n=8000 a diferença é \dfrac{8}{8000}=0{,}001, não estritamente menor).

Passo 6

Mostre que S(f,P) é decrescente e s(f,P) é crescente quando n\to\infty; calcule \inf S(f,P) e \sup s(f,P).
  • Temos fórmulas explícitas:
S_n=\frac{8}{3}+\frac{4}{n}+\frac{4}{3n^{2}},\qquad s_n=\frac{8}{3}-\frac{4}{n}+\frac{4}{3n^{2}}.
  • Observação sobre monotonicidade:
    • Para n\ge1 os termos \dfrac{4}{n} e \dfrac{4}{3n^{2}} diminuem quando n aumenta. Assim S_n é soma de \dfrac{8}{3} com termos positivos que diminuem com n, logo S_n é decrescente em n.
    • Para s_n, o termo -\dfrac{4}{n} aumenta (isto é, torna-se menos negativo) quando n aumenta e \dfrac{4}{3n^{2}} diminui, sendo o efeito combinado que s_n cresce com n. Formalmente, pode-se também usar a expressão fechada para verificar s_{n+1}-s_n>0 para n\ge1.
  • Limites quando n\to\infty:
    • Como \dfrac{4}{n}\to0 e \dfrac{4}{3n^{2}}\to0, obtemos
    \lim_{n\to\infty} S_n=\frac{8}{3},\qquad \lim_{n\to\infty} s_n=\frac{8}{3}.
  • Portanto \inf_{n} S(f,P)=\lim_{n\to\infty} S_n=\frac{8}{3},\qquad \sup_{n} s(f,P)=\lim_{n\to\infty} s_n=\frac{8}{3}.

Passo 7

Comparação com o valor exato da integral via Teorema Fundamental do Cálculo.
  • Cálculo exato:
\int_{0}^{2} x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\frac{2^{3}}{3}-0=\frac{8}{3}.
  • Conclusão: os limites das somas superiores e inferiores coincidem com o valor exato da integral; ou seja, por Darboux/Riemann,
\inf S(f,P)=\sup s(f,P)=\int_{0}^{2}x^{2}\,dx=\frac{8}{3}\approx2,\!666666\ldots

Resposta

S(f,P)=\displaystyle\frac{8}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{8}{3}+\frac{4}{n}+\frac{4}{3n^{2}}
s(f,P)=\displaystyle\frac{8}{n^{3}}\sum_{i=0}^{n-1}i^{2}=\frac{8}{3}-\frac{4}{n}+\frac{4}{3n^{2}}
Tabela numérica: n=10:\\ S_{10}=3,\!080000,\\ s_{10}=2,\!280000; \;n=50:\\ S_{50}\approx2,\!747200,\\ s_{50}\approx2,\!587200; \;n=100:\\ S_{100}\approx2,\!706800,\\ s_{100}\approx2,\!626800.
Diferença S(f,P)-s(f,P)=\dfrac{8}{n}. Para erro <0{,}001 precisa n>8000 (menor inteiro: n=8001).
S(f,P) é decrescente, s(f,P) é crescente e \inf S(f,P)=\sup s(f,P)=\dfrac{8}{3}.
Valor exato da integral: \displaystyle\int_{0}^{2}x^{2}\,dx=\frac{8}{3}.

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