Use as diretrizes do esboço de curvas (Domínio, Interseções, Simetria, Assíntotas, Extremos, Concavidade) para esboçar o gráfico completo de:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
. Vou listar claramente o que precisamos encontrar para um bom esboço (usando as diretrizes pedidas): domínio, interseções com os eixos (raízes), simetria, assíntotas (se houver), extremos (máximos/mínimos), monotonicidade, concavidade e comportamento nas extremidades. Esses serão usados para desenhar o gráfico completo.
Informações dadas:
- A função é
.
O que vamos responder/achar:
- Domínio de
. - Interseções com os eixos (raízes / interceptos).
- Simetria (par/ímpar/nenhuma).
- Existência de assíntotas.
- Derivada e pontos críticos (extremos e monotonicidade).
- Segunda derivada (concavidade e pontos de inflexão).
- Comportamento quando
e . - Pontos importantes para marcar no esboço e instruções rápidas de desenho.
Passo 2
Domínio: como aparece
, só faz sentido real para
. Logo o domínio é
Explicação curta:
está definido apenas para
no conjunto dos reais, portanto não há valores de
para
.
Passo 3
Interseções / raízes: resolver
. Faço a substituição
(então
e
):
Portanto
ou
. Voltando para
:
Logo, os interceptos com o eixo
são
e
. O intercepto com o eixo
é em
, ou seja
(mesmo ponto).
Passo 4
Simetria: a função não é par nem ímpar (além de não estar definida para
), portanto não há simetria do tipo eixo vertical ou origem. Então nada de reflexões simples para aproveitar no esboço.
Passo 5
Assíntotas: investigar limites para
e
.
- Quando
,
Então a inclinação média tende a
. Porém, para uma assíntota oblíqua
precisamos que
tenda a um número finito. Aqui, tomando
,
portanto não existe um
finito. Conclusão: não há assíntota linear finita (nem horizontal nem oblíqua) quando
. A função cresce como
mas a diferença em relação à reta
diverge negativamente.
- Quando
, domina sobre (pois para pequeno), então
Não há assíntota vertical (o domínio começa em zero, ponto finito).
Passo 6
Derivada e monotonicidade: aplico a regra da derivada de
. Lembrando que
para
. Assim
Interpretação: o sinal de
diz se a função sobe ou desce.
Encontrar pontos críticos: resolver
,
Logo
Estudo do sinal:
- Para
, tem-se então e assim : função decrescente. - Para
, então : função crescente.
Portanto
é um ponto de mínimo relativo (e, como veremos, global no domínio).
Passo 7
Valor do extremo: calcular
em
. Como
,
Então o ponto crítico é
e é mínimo.
Passo 8
Segunda derivada e concavidade: derive
:
Para todo
temos
. Então a curva é côncava para cima em todo o domínio
. Como
não muda de sinal e não se anula em
, não há ponto de inflexão no domínio.
Passo 9
Comportamento próximo a
e alguns pontos de verificação:
- Em
, já vimos . A derivada tem comportamento
ou seja, a curva sai do ponto
com declive muito negativo (uma “inclinação muito íngreme” para baixo ao lado direito de zero).
- Alguns valores úteis para esboço:
-
(ponto inicial). -
. -
(mesmo que em , interessante para posicionar curvas). -
(segunda interseção com eixo ). - Mínimo em
com .
-
Passo 10
Resumo das informações para desenhar (passo a passo prático para o esboço):
- Marcar domínio: só para
. - Pontos essenciais: marcar
, e . Marcar também pontos auxiliares como e . - Comportamento inicial: a curva parte de
para a direita com declive muito negativo (cairá rapidamente). - Monotonicidade: desce de
até ; depois sobe para passando por e continuando a crescer indefinidamente. - Concavidade: a curva é côncava para cima em todo o domínio (formato de “tigela” aberta para cima).
- Assíntotas: não há assíntotas finitas; conforme
a inclinação tende a mas a diferença para a reta diverge para . - Traçar uma curva suave que respeite esses pontos: começa em
, desce íngreme até atingir o mínimo em , depois sobe, cruza o eixo em e segue subindo com inclinação aproximando-se de .
Dica de desenho: ligue os pontos com uma curva lisa e côncava para cima, curta e íngreme perto de
, mais “suave” e com inclinação próxima de
para grandes
.
Resposta
Domínio:
Interceptos: e
Ponto crítico (mínimo): com
Monotonicidade: decrescente em , crescente em
Concavidade: côncava para cima em todo o domínio (sem pontos de inflexão)
Assíntotas: nenhuma assíntota linear ou horizontal finita (para a inclinação tende a
mas
)
Comportamento nas extremidades: e
quando
(crescimento aproximadamente linear com correção
).
Interceptos:
Ponto crítico (mínimo):
Monotonicidade: decrescente em
Concavidade: côncava para cima em todo o domínio
Assíntotas: nenhuma assíntota linear ou horizontal finita (para
Comportamento nas extremidades: