Use as diretrizes do esboço de curvas (Domínio, Interseções, Simetria, Assíntotas, Extremos, Concavidade) para esboçar o gráfico completo de:
y=x-3 \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função y = x - 3\sqrt{x}. Vou listar claramente o que precisamos encontrar para um bom esboço (usando as diretrizes pedidas): domínio, interseções com os eixos (raízes), simetria, assíntotas (se houver), extremos (máximos/mínimos), monotonicidade, concavidade e comportamento nas extremidades. Esses serão usados para desenhar o gráfico completo.
Informações dadas:
  • A função é y = x - 3\sqrt{x}.
O que vamos responder/achar:
  • Domínio de x.
  • Interseções com os eixos (raízes / interceptos).
  • Simetria (par/ímpar/nenhuma).
  • Existência de assíntotas.
  • Derivada e pontos críticos (extremos e monotonicidade).
  • Segunda derivada (concavidade e pontos de inflexão).
  • Comportamento quando x\to0^+ e x\to\infty.
  • Pontos importantes para marcar no esboço e instruções rápidas de desenho.

Passo 2

Domínio: como aparece \sqrt{x}, só faz sentido real para x\ge0. Logo o domínio é
\text{Domínio} = [0,\infty).í
Explicação curta: \sqrt{x} está definido apenas para x\ge0 no conjunto dos reais, portanto não há valores de y para x<0.

Passo 3

Interseções / raízes: resolver x - 3\sqrt{x} = 0. Faço a substituição t=\sqrt{x} (então t\ge0 e x=t^2):
t^2 - 3t = 0 \quad\Rightarrow\quad t(t-3)=0.
Portanto t=0 ou t=3. Voltando para x:
x=0^2=0 \quad\text{ou}\quad x=3^2=9.
Logo, os interceptos com o eixo x são (0,0) e (9,0). O intercepto com o eixo y é em x=0, ou seja (0,0) (mesmo ponto).

Passo 4

Simetria: a função não é par nem ímpar (além de não estar definida para x<0), portanto não há simetria do tipo eixo vertical ou origem. Então nada de reflexões simples para aproveitar no esboço.

Passo 5

Assíntotas: investigar limites para x\to\infty e x\to0^+.
  • Quando x\to\infty,
\frac{y}{x} = \frac{x-3\sqrt{x}}{x} = 1 - \frac{3}{\sqrt{x}} \longrightarrow 1.
Então a inclinação média tende a 1. Porém, para uma assíntota oblíqua y=ax+b precisamos que y-ax tenda a um número finito. Aqui, tomando a=1,
y-x = -3\sqrt{x} \longrightarrow -\infty,
portanto não existe um b finito. Conclusão: não há assíntota linear finita (nem horizontal nem oblíqua) quando x\to\infty. A função cresce como x mas a diferença em relação à reta y=x diverge negativamente.
  • Quando x\to0^+, \sqrt{x} domina sobre x (pois \sqrt{x}\gg x para x pequeno), então
y \approx -3\sqrt{x}\longrightarrow 0^-.
Não há assíntota vertical (o domínio começa em zero, ponto finito).

Passo 6

Derivada e monotonicidade: aplico a regra da derivada de \sqrt{x}. Lembrando que \dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} para x>0. Assim
y' = \frac{d}{dx}\bigl(x - 3\sqrt{x}\bigr) = 1 - 3\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 - \frac{3}{2\sqrt{x}}.
Interpretação: o sinal de y' diz se a função sobe ou desce.
Encontrar pontos críticos: resolver y'=0,
1 - \frac{3}{2\sqrt{x}} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{2\sqrt{x}}=1 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x}=\frac{3}{2}.
Logo
x = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2{,}25.
Estudo do sinal:
  • Para 0<x<\dfrac{9}{4}, tem-se \sqrt{x}<\dfrac{3}{2} então \dfrac{3}{2\sqrt{x}}>1 e assim y'<0: função decrescente.
  • Para x>\dfrac{9}{4}, \sqrt{x}>\dfrac{3}{2} então y'>0: função crescente.
Portanto x=\dfrac{9}{4} é um ponto de mínimo relativo (e, como veremos, global no domínio).

Passo 7

Valor do extremo: calcular y em x=\dfrac{9}{4}. Como \sqrt{x}=\dfrac{3}{2},
y\Bigl(\frac{9}{4}\Bigr)=\frac{9}{4} - 3\cdot\frac{3}{2} = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} = \frac{9-18}{4} = -\frac{9}{4} = -2{,}25.
Então o ponto crítico é \Bigl(\dfrac{9}{4},-\dfrac{9}{4}\Bigr) e é mínimo.

Passo 8

Segunda derivada e concavidade: derive y':
y' = 1 - \frac{3}{2}x^{-1/2},\qquad y'' = -\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2} = \frac{3}{4}x^{-3/2}.
Para todo x>0 temos y''(x)>0. Então a curva é côncava para cima em todo o domínio x>0. Como y'' não muda de sinal e não se anula em x>0, não há ponto de inflexão no domínio.

Passo 9

Comportamento próximo a x=0 e alguns pontos de verificação:
  • Em x\to0^+, já vimos y\to0^-. A derivada y' tem comportamento
y' = 1 - \frac{3}{2\sqrt{x}} \longrightarrow -\infty \quad\text{quando } x\to0^+,
ou seja, a curva sai do ponto (0,0) com declive muito negativo (uma “inclinação muito íngreme” para baixo ao lado direito de zero).
  • Alguns valores úteis para esboço:
    • x=0\Rightarrow y=0 (ponto inicial).
    • x=1\Rightarrow y = 1 - 3\cdot1 = -2.
    • x=4\Rightarrow y = 4 - 3\cdot2 = -2 (mesmo y que em x=1, interessante para posicionar curvas).
    • x=9\Rightarrow y=0 (segunda interseção com eixo x).
    • Mínimo em x=\dfrac{9}{4}\approx2{,}25 com y=-2{,}25.

Passo 10

Resumo das informações para desenhar (passo a passo prático para o esboço):
  • Marcar domínio: só para x\ge0.
  • Pontos essenciais: marcar (0,0), \bigl(\tfrac{9}{4},-\tfrac{9}{4}\bigr) e (9,0). Marcar também pontos auxiliares como (1,-2) e (4,-2).
  • Comportamento inicial: a curva parte de (0,0) para a direita com declive muito negativo (cairá rapidamente).
  • Monotonicidade: desce de x=0 até x=\tfrac{9}{4}; depois sobe para x> \tfrac{9}{4} passando por (9,0) e continuando a crescer indefinidamente.
  • Concavidade: a curva é côncava para cima em todo o domínio (formato de “tigela” aberta para cima).
  • Assíntotas: não há assíntotas finitas; conforme x\to\infty a inclinação tende a 1 mas a diferença para a reta y=x diverge para -\infty.
  • Traçar uma curva suave que respeite esses pontos: começa em (0,0), desce íngreme até atingir o mínimo em (2{,}25,-2{,}25), depois sobe, cruza o eixo x em (9,0) e segue subindo com inclinação aproximando-se de 1.
Dica de desenho: ligue os pontos com uma curva lisa e côncava para cima, curta e íngreme perto de 0, mais “suave” e com inclinação próxima de 1 para grandes x.

Resposta

Domínio: [0,\infty)
Interceptos: (0,0) e (9,0)
Ponto crítico (mínimo): \displaystyle\Bigl(\frac{9}{4},-\frac{9}{4}\Bigr) com y_{\min}=-\frac{9}{4}
Monotonicidade: decrescente em 0<x<\dfrac{9}{4}, crescente em x>\dfrac{9}{4}
Concavidade: côncava para cima em todo o domínio x>0 (sem pontos de inflexão)
Assíntotas: nenhuma assíntota linear ou horizontal finita (para x\to\infty a inclinação tende a 1 mas y-x\to -\infty)
Comportamento nas extremidades: y(0)=0 e y\to\infty quando x\to\infty (crescimento aproximadamente linear com correção -3\sqrt{x}).

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