Seja
uma função periódica, com período
, definida como:
Nessas condições, pede-se:
(b) Desenvolva
em série de Fourier.
(b) Desenvolva
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver em série de Fourier a função periódica de período
dada por
em
, estendendo-a de forma periódica. O conteúdo é Série de Fourier de função par em intervalo simétrico, e vamos precisar das fórmulas dos coeficientes
e da frequência angular básica
.
Passo 2
Uma observação importante é que
é uma função par, logo todos os coeficientes
(que envolvem seno) serão zero. A série de Fourier assume a forma
com
Passo 3
Vamos calcular
. Pela definição
Então o termo constante na série é
.
Passo 4
Agora vamos achar
. A definição geral é
Para avaliar essa integral, fazemos integração por partes duas vezes ou usamos fórmula conhecida. O resultado é
Logo
Passo 5
Concluindo, como
é par, todos os
. A série de Fourier fica:
Passo 6
Esse resultado dá a expansão completa de
em seno e cosseno no período
, mostrando que só aparecem termos de cosseno e o termo constante
.