Seja f(t) uma função periódica, com período T=4, definida como:
f(t)=t^2, para -2 <= t<2
Nessas condições, pede-se:
(b) Desenvolva f(t) em série de Fourier.

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver em série de Fourier a função periódica de período T=4 dada por f(t)=t^2 em [-2,2), estendendo-a de forma periódica. O conteúdo é Série de Fourier de função par em intervalo simétrico, e vamos precisar das fórmulas dos coeficientes a0, an, bn e da frequência angular básica omega0=2pi/T.

Passo 2

Uma observação importante é que f(t)=t^2 é uma função par, logo todos os coeficientes bn (que envolvem seno) serão zero. A série de Fourier assume a forma
f(t)=a02+sumn=1^inftyancos(nomega0t)
com
omega0=2piT=2pi4=pi2

Passo 3

Vamos calcular a0. Pela definição
a0=2Tintegral-T/2^T/2f(t),dt =24integral-2^2t^2,dt =12cdot2integral0^2t^2,dt =,integral0^2t^2,dt =l[t^33r]0^2 =83
Então o termo constante na série é a0/2=4/3.

Passo 4

Agora vamos achar an. A definição geral é
an=2Tintegral-T/2^T/2f(t)cos(nomega0t),dt =24integral-2^2t^2cosl(ntfracpi2tr),dt =12cdot2integral0^2t^2cosl(ntfracpi2tr),dt =integral0^2t^2cosl(npi2tr),dt
Para avaliar essa integral, fazemos integração por partes duas vezes ou usamos fórmula conhecida. O resultado é
integral0^2t^2cosl(npi2tr),dt =16(-1)^nn^2pi^2
Logo
an=16(-1)^nn^2pi^2

Passo 5

Concluindo, como f(t) é par, todos os bn=0. A série de Fourier fica:
f(t)=43+sumn=1^infty16(-1)^nn^2pi^2cosl(ntfracpi2tr)

Passo 6

Esse resultado dá a expansão completa de f(t) em seno e cosseno no período T=4, mostrando que só aparecem termos de cosseno e o termo constante 4/3.

Resposta

f(t)=43+sumn=1^infty16(-1)^nn^2pi^2cosl(npi2tr)

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