Quais das seguintes integrais é imprópria? E qual a razão?
(e) integral0^2 12 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para avaliar se a integral integral0^212x+1,dx é imprópria, ou seja, se há limite de integração infinito ou descontinuidade do integrando no intervalo.

Passo 2

A definição de integral imprópria exige que ou algum limite de integração seja infinito ou que o integrando apresente singularidade (descontinuidade não removível) dentro ou nos limites do intervalo.

Passo 3

No nosso caso, o intervalo de integração é [0,2], que é finito, e a função f(x)=12x+1 só teria problema quando o denominador 2x+1=0, isto é, em x=-tfrac12, que está fora de [0,2]. Portanto f é contínua e limitada em [0,2].

Passo 4

Como não há limite infinito nem descontinuidade no intervalo, a integral é propriamente definida (própria).

Resposta

A integral é própria, pois o integrando é contínuo e o intervalo de integração é finito.

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