Considere uma função que satisfaz a todas as condições dadas a seguir
  • O domínio da função corresponde a todos os reais.
  • f(-1)=0 e f(0)=1
  • f^{\prime}(-1)=f^{\prime}(1)=0
  • \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=1, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=1
  • f^{\prime}(x)<0 nos intervalos (-\infty,-1) e (1, \infty)
  • f^{\prime}(x)>0 no intervalo (-1,1)
  • f^{\prime \prime}(x)<0 nos intervalos (-\infty,-\sqrt{3}) e (0, \sqrt{3})
  • f^{\prime \prime}(x)>0 nos intervalos (-\sqrt{3}, 0) e (\sqrt{3}, \infty).
Responda os itens.
a) Onde a função intercepta o eixo x e y ?
b) A função possui assíntotas verticais e/ou horizontais? Justifique.
c) Em quais intervalos a função é crescente? E em quais intervalos é decrescente?
d) Em quais intervalos a função é côncava para baixo? E em quais intervalos é côncava para cima?
e) A função possui máximos e/ou mínimos locais? Justifique.
f) Esboce o gráfico da função.
a) Intercepta o eixo x em x=-1 e o eixo y em y=1 \cdot \checkmark(0.4)
b) Não possui assíntota vertical, pois o domínio da função são todos os reais. Possui assíntota horizontal em y=1, pois \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=1, \quad \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=1 . \checkmark ( 0.4 )
c) A função é crescente no intervalo ( -1,1 ) pois f^{\prime}>0 neste intervalo. A função decrescente em (-\infty,-1) e (1, \infty) pois f^{\prime}<0 neste intervalo. \checkmark(0.4)
d) É côncava para baixo nos intervalos (-\infty,-\sqrt{3}) e (0, \sqrt{3}) pois f^{\prime \prime}(x)<0. E côncava para cima em (-\sqrt{3}, 0) e (\sqrt{3}, \infty), pois f^{\prime \prime}(x)>0 . \checkmark(0.4)
e) Máximo em f(1) e mínimo em f(-1), pois f^{\prime}(-1)=f^{\prime}(1)=0 e f^{\prime \prime}(1)<0 e f^{\prime \prime}(1)> 0 \checkmark(0.4)

f)
\checkmark (1.0)

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado) e pede as perguntas (a)–(f).
Informações dadas:
  • O domínio de f é todo o conjunto dos reais.
  • f(-1)=0 e f(0)=1.
  • f^{\prime}(-1)=0 e f^{\prime}(1)=0.
  • \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)=1 e \displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)=1.
  • f^{\prime}(x)<0 para x\in(-\infty,-1) e para x\in(1,\infty).
  • f^{\prime}(x)>0 para x\in(-1,1).
  • f^{\prime\prime}(x)<0 para x\in(-\infty,-\sqrt{3}) e x\in(0,\sqrt{3}).
  • f^{\prime\prime}(x)>0 para x\in(-\sqrt{3},0) e x\in(\sqrt{3},\infty).
Perguntas:
a) Onde a função intercepta os eixos x e y?
b) A função possui assíntotas verticais e/ou horizontais? Justifique.
c) Em quais intervalos a função é crescente? Em quais é decrescente?
d) Em quais intervalos é côncava para baixo? Em quais é côncava para cima?
e) A função possui máximos e/ou mínimos locais? Justifique (e diga os valores quando possível).
f) Esboce (descreva) o gráfico da função.

Passo 2

(a) Interceptos — o que significa e como achar:
  • Intercepto no eixo x é ponto onde f(x)=0. O enunciado dá f(-1)=0. Portanto a função intercepta o eixo x em x=-1, isto é, no ponto (-1,0).
  • Intercepto no eixo y é o valor f(0). O enunciado dá f(0)=1. Portanto o intercepto no eixo y é y=1, isto é, no ponto (0,1).
Explicação didática rápida: achar interceptos é simplesmente avaliar f em 0 para o eixo y e resolver f(x)=0 para o eixo x; aqui esses valores foram fornecidos diretamente.

Passo 3

(b) Assíntotas — definição e conclusão:
  • Assíntota vertical ocorre quando a função não está definida em algum x=a e cresce em módulo para infinito perto de a. Como o domínio é todo o conjunto dos reais, não há a onde a função deixe de existir; logo não há assíntotas verticais.
  • Assíntota horizontal: se \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=L ou \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)=L, então a reta y=L é assíntota horizontal (ou uma das assíntotas horizontais). Aqui temos \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)=1 e \displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)=1, portanto a reta \;y=1\; é assíntota horizontal nos dois lados. Conclusão: não há assíntota vertical; há assíntota horizontal em \;y=1.

Passo 4

(c) Crescimento e decrescimento — usar f^{\prime}:
  • Interpretação: se f^{\prime}(x)>0 num intervalo, f é crescente ali; se f^{\prime}(x)<0, f é decrescente.
  • O enunciado já deu os sinais de f^{\prime}. Logo:
    • f é decrescente em (-\infty,-1) porque f^{\prime}(x)<0 aí.
    • f é crescente em (-1,1) porque f^{\prime}(x)>0 aí.
    • f é decrescente em (1,\infty) porque f^{\prime}(x)<0 aí.
Explicação extra para a prova: pontos onde f^{\prime}=0 (aqui x=-1 e x=1) são candidatos a extremos; para decidir se são máximo, mínimo ou ponto de inflexão podemos analisar mudança de sinal de f^{\prime} (teste da primeira derivada) ou usar f^{\prime\prime} (teste da segunda derivada) quando aplicável.

Passo 5

(d) Concavidade — usar f^{\prime\prime} e pontos de inflexão:
  • Interpretação: se f^{\prime\prime}(x)>0 num intervalo, f é côncava para cima aí; se f^{\prime\prime}(x)<0, é côncava para baixo aí. Um ponto de inflexão é onde f^{\prime\prime} muda de sinal.
  • Usando as informações:
    • f^{\prime\prime}(x)<0 em (-\infty,-\sqrt{3}) e em (0,\sqrt{3}) f é côncava para baixo nesses intervalos.
    • f^{\prime\prime}(x)>0 em (-\sqrt{3},0) e em (\sqrt{3},\infty) f é côncava para cima nesses intervalos.
  • Pontos de inflexão (onde há mudança de concavidade): os pontos x=-\sqrt{3}, x=0 e x=\sqrt{3} são pontos onde f^{\prime\prime} troca de sinal, portanto são pontos de inflexão (assumindo continuidade suficiente de f^{\prime\prime}, o que o enunciado implica ao dar os sinais por intervalos).

Passo 6

(e) Máximos e mínimos locais — usar mudança de sinal de f^{\prime} e/ou f^{\prime\prime}:
  • Em x=-1:
    • Observação pelo teste da primeira derivada: à esquerda de -1 temos f^{\prime}<0 (decrescente) e à direita de -1 temos f^{\prime}>0 (crescente). Mudança de decrescente → crescente indica mínimo local em x=-1.
    • Pelo teste da segunda derivada: como -1\in(-\sqrt{3},0) e nesse intervalo f^{\prime\prime}(x)>0, temos f^{\prime\prime}(-1)>0, o que confirma que x=-1 é ponto de mínimo local. Valor: f(-1)=0, então é mínimo local com valor 0.
  • Em x=1:
    • Observação pelo teste da primeira derivada: à esquerda de 1 temos f^{\prime}>0 (crescente) e à direita de 1 temos f^{\prime}<0 (decrescente). Mudança crescente → decrescente indica máximo local em x=1.
    • Pelo teste da segunda derivada: como 1\in(0,\sqrt{3}) e nesse intervalo f^{\prime\prime}(x)<0, temos f^{\prime\prime}(1)<0, o que confirma que x=1 é ponto de máximo local. Valor: o enunciado não fornece f(1), então só podemos afirmar que há um máximo local em x=1 (o valor numérico de f(1) é desconhecido a partir dos dados dados).
  • Conclusão: há um mínimo local em x=-1 com valor f(-1)=0 e um máximo local em x=1 com valor f(1) não fornecido.

Passo 7

(f) Esboço do gráfico — instruções passo a passo e descrição qualitativa (como desenhar na prova):
  1. Trace os eixos x e y. Desenhe a reta horizontal \;y=1\; (assíntota horizontal).
  2. Marque os pontos conhecidos: (-1,0) (mínimo local) e (0,1) (intercepto no y). Marque verticalmente que em x=1 há um máximo local (coloque um ponto em x=1 acima de y=1; o valor exato de f(1) não foi dado).
  3. Monotonicidade:
    • Para x<-1: a curva vem decrescente aproximando-se de y=1 quando x\to -\infty. Antes de -1 a concavidade é: em (-\infty,-\sqrt{3}) côncava para baixo; em (-\sqrt{3},-1) côncava para cima. Portanto desenhe uma curva decrescente que muda a concavidade em x=-\sqrt{3} e atinge um mínimo em (-1,0).
    • Para -1<x<1: a função sobe (é crescente). A concavidade muda em x=0: em (-1,0) é côncava para cima, em (0,1) é côncava para baixo (mude a curvatura no x=0). A curva sobe até atingir o máximo em x=1.
    • Para x>1: a função decresce e, quanto à concavidade, em (1,\sqrt{3}) é côncava para baixo (já que 1\in(0,\sqrt{3})) e em (\sqrt{3},\infty) torna-se côncava para cima; quando x\to\infty a curva se aproxima de y=1 por baixo ou por cima dependendo da forma, mas tende a 1.
  4. Marque pontos de inflexão onde a concavidade muda: x=-\sqrt{3}, x=0 (aqui já sabemos f(0)=1), e x=\sqrt{3}.
  5. Resultado: o esboço qualitativo mostra uma curva que vem de y\to 1 pela esquerda decrescendo e côncava para baixo até x=-\sqrt{3}, depois muda para côncava para cima até o mínimo em (-1,0), sobe passando por (0,1) e mudando concavidade em 0, alcança um máximo em x=1 e depois decresce com mudança de concavidade em x=\sqrt{3} e aproxima-se de y=1 quando x\to\infty.
    Observação: a figura enviada pelo usuário mostra exatamente essa forma qualitativa (assíntota y=1, mínimo em (-1,0), máximo em x=1, e inflexões em x=-\sqrt{3},0,\sqrt{3}). O valor numérico de f(1) não foi fornecido no enunciado; na ilustração podia aparecer um valor, mas a análise acima usa somente os dados escritos.

Resposta

(a) Intercepto no eixo x: (-1,0). Intercepto no eixo y: (0,1).\n(b) Não há assíntota vertical; há assíntota horizontal em y=1.\n(c) Crescente em (-1,1). Decrescente em (-\infty,-1) e em (1,\infty).\n(d) Côncava para baixo em (-\infty,-\sqrt{3}) e em (0,\sqrt{3}). Côncava para cima em (-\sqrt{3},0) e em (\sqrt{3},\infty). Pontos de inflexão em x=-\sqrt{3},0,\sqrt{3}.\n(e) Mínimo local em x=-1 com valor f(-1)=0. Máximo local em x=1 (valor f(1) não fornecido pelo enunciado).\n(f) Esboço qualitativo: curva tende a y=1 para x\to\pm\infty, decresce até mínimo em (-1,0), cresce até máximo em x=1, com mudanças de concavidade em x=-\sqrt{3},0,\sqrt{3} (descrição detalhada no passo anterior).

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