Aplique a regra de L’Hôpital (mais de uma vez, se for necessário) para resolver os limites abaixo. Explicite as indeterminações e indique a passagem em que foi aplicada a regra.
\lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{-}}(\operatorname{tg} x)^{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to(\pi/2)^{-}}(\operatorname{tg} x)^{\cos x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O ponto de aproximação é x\to(\pi/2)^{-} (pela esquerda).
  • Quando x\to(\pi/2)^{-} temos \tan x \to +\infty e \cos x \to 0^{+}.
  • Portanto a forma que aparece aqui é do tipo \infty^{0}, ou seja, uma indeterminação do tipo \infty^{0}.

Passo 2

Estratégia padrão para potências com indeterminação: tomar logaritmo. Defina
y=(\tan x)^{\cos x}.
Então
\ln y = \cos x\cdot \ln(\tan x).
Se conseguirmos \displaystyle L=\lim_{x\to(\pi/2)^{-}}\ln y, então o limite pedido é e^{L}. Note que aqui \cos x\to0 e \ln(\tan x)\to+\infty, logo o produto \cos x\cdot\ln(\tan x) é uma indeterminação do tipo 0\cdot\infty. Precisamos transformar essa expressão para poder aplicar alguma ferramenta (como a regra de L’Hôpital).

Passo 3

Transformamos o produto em quociente para criar uma forma \infty/\infty ou 0/0. Escrevemos
\cos x\cdot \ln(\tan x)=\frac{\ln(\tan x)}{\operatorname{sec} x},
pois \operatorname{sec} x=1/\cos x. Agora, quando x\to(\pi/2)^{-} temos \ln(\tan x)\to+\infty e \operatorname{sec} x\to+\infty, ou seja, é uma indeterminação \infty/\infty. Assim podemos aplicar a regra de L’Hôpital. (Aqui aplicamos L’Hôpital pela primeira vez.)
Lembrete rápido e prático da regra de L’Hôpital: se \lim f(x)=\lim g(x)=\infty ou ambos 0, e f,g são diferenciáveis numa vizinhança exceto possivelmente no ponto, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite do lado direito exista (ou seja \pm\infty).

Passo 4

Calculemos as derivadas necessárias:
  • Derivada do numerador f(x)=\ln(\tan x):
f'(x)=\frac{1}{\tan x}\cdot \frac{d}{dx}(\tan x)=\frac{1}{\tan x}\cdot \operatorname{sec}^{2}x=\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{\tan x}.
Podemos simplificar esta expressão:
\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{\tan x}=\frac{1/\cos^{2}x}{\sin x/\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}.
  • Derivada do denominador g(x)=\operatorname{sec} x:
g'(x)=\operatorname{sec} x\tan x.
Aplicando L’Hôpital obtemos
\lim_{x\to(\pi/2)^{-}}\frac{\ln(\tan x)}{\operatorname{sec} x} =\lim_{x\to(\pi/2)^{-}}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to(\pi/2)^{-}}\frac{\dfrac{1}{\sin x\cos x}}{\operatorname{sec} x\tan x}.

Passo 5

Simplificamos a fração das derivadas passo a passo:
\frac{\dfrac{1}{\sin x\cos x}}{\operatorname{sec} x\tan x} =\frac{1}{\sin x\cos x}\cdot\frac{1}{\operatorname{sec} x\tan x} =\frac{1}{\sin x\cos x}\cdot\frac{1}{(1/\cos x)\cdot(\sin x/\cos x)}.
Calcule o produto no denominador:
(1/\cos x)\cdot(\sin x/\cos x)=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}.
Portanto
\frac{1}{\sin x\cos x}\cdot\frac{1}{\dfrac{\sin x}{\cos^{2}x}} =\frac{1}{\sin x\cos x}\cdot\frac{\cos^{2}x}{\sin x} =\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x\cos x} =\frac{\cos x}{\sin^{2}x}.
Logo a expressão reduz-se a
\lim_{x\to(\pi/2)^{-}}\frac{\cos x}{\sin^{2}x}.

Passo 6

Avalie o limite final:
quando x\to(\pi/2)^{-} temos \cos x\to 0 e \sin x\to 1. Assim
\lim_{x\to(\pi/2)^{-}}\frac{\cos x}{\sin^{2}x}=\frac{0}{1^{2}}=0.
Portanto o limite do logaritmo da nossa função é L=0. Como L=\lim \ln y, concluímos que
\lim_{x\to(\pi/2)^{-}}(\tan x)^{\cos x}=e^{L}=e^{0}=1.
Observação final: aplicamos a regra de L’Hôpital exatamente na passagem em que transformamos \cos x\ln(\tan x) em \dfrac{\ln(\tan x)}{\operatorname{sec} x} e então substituímos o quociente pelas derivadas do numerador e do denominador.

Resposta

1

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