Aplique a regra de L’Hôpital (mais de uma vez, se for necessário) para resolver os limites abaixo. Explicite as indeterminações e indique a passagem em que foi aplicada a regra.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O ponto de aproximação é
(pela esquerda). - Quando
temos e . - Portanto a forma que aparece aqui é do tipo
, ou seja, uma indeterminação do tipo .
Passo 2
Estratégia padrão para potências com indeterminação: tomar logaritmo. Defina
Então
Se conseguirmos
, então o limite pedido é
. Note que aqui
e
, logo o produto
é uma indeterminação do tipo
. Precisamos transformar essa expressão para poder aplicar alguma ferramenta (como a regra de L’Hôpital).
Passo 3
Transformamos o produto em quociente para criar uma forma
ou
. Escrevemos
pois
. Agora, quando
temos
e
, ou seja, é uma indeterminação
. Assim podemos aplicar a regra de L’Hôpital. (Aqui aplicamos L’Hôpital pela primeira vez.)
Lembrete rápido e prático da regra de L’Hôpital: se
ou ambos
, e
são diferenciáveis numa vizinhança exceto possivelmente no ponto, então
desde que o limite do lado direito exista (ou seja
).
Passo 4
Calculemos as derivadas necessárias:
- Derivada do numerador
:
Podemos simplificar esta expressão:
- Derivada do denominador
:
Aplicando L’Hôpital obtemos
Passo 5
Simplificamos a fração das derivadas passo a passo:
Calcule o produto no denominador:
Portanto
Logo a expressão reduz-se a
Passo 6
Avalie o limite final:
quando temos
e
. Assim
quando
Portanto o limite do logaritmo da nossa função é
. Como
, concluímos que
Observação final: aplicamos a regra de L’Hôpital exatamente na passagem em que transformamos
em
e então substituímos o quociente pelas derivadas do numerador e do denominador.