Aplique a regra de L’Hôpital (mais de uma vez, se for necessário) para resolver os limites abaixo. Explicite as indeterminações e indique a passagem em que foi aplicada a regra.
\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 1^{+}}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right).
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A expressão é a diferença de duas frações: \dfrac{x}{x-1} e \dfrac{1}{\ln x}.
  • O ponto de interesse é x\to 1^{+} (aproximação por valores maiores que 1).
  • Precisamos calcular o valor do limite quando x se aproxima de 1 pela direita e, se surgir uma indeterminação, aplicar a regra de L’Hôpital (mais de uma vez, se necessário), explicitando cada indeterminação e em que passagem a regra foi aplicada.

Passo 2

Análise do comportamento das duas parcelas isoladamente quando x\to 1^{+}:
  • Para \dfrac{x}{x-1}: o numerador tende a 1 e o denominador tende a 0^{+}, logo \dfrac{x}{x-1}\to +\infty.
  • Para \dfrac{1}{\ln x}: como \ln x\to 0^{+} quando x\to 1^{+}, temos \dfrac{1}{\ln x}\to +\infty.
    Portanto a expressão é do tipo \infty-\infty, uma indeterminação. Para usar L’Hôpital precisamos transformar a diferença em uma única fração (forma \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}).

Passo 3

Coloco sobre um denominador comum para obter uma única fração:
\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}=\frac{x\ln x-(x-1)}{(x-1)\ln x}.
Verificação do limite da nova forma quando x\to 1^{+}:
  • Numerador: x\ln x-(x-1)\to 1\cdot 0 - 0 = 0.
  • Denominador: (x-1)\ln x\to 0\cdot 0 = 0.
    Logo temos uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Nesta situação a regra de L’Hôpital é aplicável.
Breve lembrete da regra de L’Hôpital (didático):
  • Se \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}, e f e g são diferenciáveis próximos de a (exceto possivelmente em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite à direita exista (ou seja \pm\infty). Aqui f é o numerador x\ln x-(x-1) e g é o denominador (x-1)\ln x.

Passo 4

Aplicação 1ª da regra de L’Hôpital (primeira diferenciação):
Compute as derivadas de numerador e denominador.
Numerador f(x)=x\ln x-(x-1).
  • Derivada de x\ln x: produto -> \ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1.
  • Derivada de -(x-1): é -1.
    Portanto
f'(x)=\ln x+1-1=\ln x.
Denominador g(x)=(x-1)\ln x.
  • Usando produto: derivada de (x-1) é 1, então primeira parte 1\cdot\ln x=\ln x.
  • Mais (x-1) vezes derivada de \ln x que é 1/x, então segunda parte (x-1)/x.
    Logo
g'(x)=\ln x+\frac{x-1}{x}.
Assim, pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 1^{+}}\frac{x\ln x-(x-1)}{(x-1)\ln x} = \lim_{x\to 1^{+}}\frac{\ln x}{\ln x+\dfrac{x-1}{x}}.

Passo 5

Verificação da nova forma após a primeira aplicação:
  • Numerador \ln x\to 0 quando x\to 1^{+}.
  • Denominador \ln x+\dfrac{x-1}{x}\to 0+0=0.
    Outra indeterminação \tfrac{0}{0}. Então podemos aplicar a regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 6

Aplicação 2ª da regra de L’Hôpital (segunda diferenciação):
Derivo numerador e denominador obtidos no Passo 4.
Numerador agora h(x)=\ln x então
h'(x)=\frac{1}{x}.
Denominador k(x)=\ln x+\dfrac{x-1}{x}.
  • Derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}.
  • Para \dfrac{x-1}{x} uma observação útil: \dfrac{x-1}{x}=1-\dfrac{1}{x}. Derivando isso dá 0 -\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=\dfrac{1}{x^{2}}.
    Portanto
k'(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}.
Pelo L’Hôpital novamente,
\lim_{x\to 1^{+}}\frac{\ln x}{\ln x+\dfrac{x-1}{x}} = \lim_{x\to 1^{+}}\frac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 7

Simplificação algébrica da expressão final e avaliação:
\frac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}} = \frac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{x+1}{x^{2}}} = \frac{1}{x}\cdot\frac{x^{2}}{x+1} = \frac{x}{x+1}.
Agora avalio o limite quando x\to 1^{+}:
\lim_{x\to 1^{+}}\frac{x}{x+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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