Aplique a regra de L’Hôpital (mais de uma vez, se for necessário) para resolver os limites abaixo. Explicite as indeterminações e indique a passagem em que foi aplicada a regra.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A expressão é a diferença de duas frações:
e . - O ponto de interesse é
(aproximação por valores maiores que ). - Precisamos calcular o valor do limite quando
se aproxima de pela direita e, se surgir uma indeterminação, aplicar a regra de L’Hôpital (mais de uma vez, se necessário), explicitando cada indeterminação e em que passagem a regra foi aplicada.
Passo 2
Análise do comportamento das duas parcelas isoladamente quando
:
- Para
: o numerador tende a e o denominador tende a , logo . - Para
: como quando , temos .
Portanto a expressão é do tipo, uma indeterminação. Para usar L’Hôpital precisamos transformar a diferença em uma única fração (forma ou ).
Passo 3
Coloco sobre um denominador comum para obter uma única fração:
Verificação do limite da nova forma quando
:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Logo temos uma indeterminação do tipo. Nesta situação a regra de L’Hôpital é aplicável.
Breve lembrete da regra de L’Hôpital (didático):
- Se
dá ou , e e são diferenciáveis próximos de (exceto possivelmente em ), então
desde que o limite à direita exista (ou seja
). Aqui
é o numerador
e
é o denominador
.
Passo 4
Aplicação 1ª da regra de L’Hôpital (primeira diferenciação):
Compute as derivadas de numerador e denominador.
Compute as derivadas de numerador e denominador.
Numerador
.
- Derivada de
: produto -> . - Derivada de
: é .
Portanto
Denominador
.
- Usando produto: derivada de
é , então primeira parte . - Mais
vezes derivada de que é , então segunda parte .
Logo
Assim, pela regra de L’Hôpital,
Passo 5
Verificação da nova forma após a primeira aplicação:
- Numerador
quando . - Denominador
.
Outra indeterminação. Então podemos aplicar a regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 6
Aplicação 2ª da regra de L’Hôpital (segunda diferenciação):
Derivo numerador e denominador obtidos no Passo 4.
Derivo numerador e denominador obtidos no Passo 4.
Numerador agora
então
Denominador
.
- Derivada de
é . - Para
uma observação útil: . Derivando isso dá .
Portanto
Pelo L’Hôpital novamente,
Passo 7
Simplificação algébrica da expressão final e avaliação:
Agora avalio o limite quando
: