1. Considere a função y=f(x) satisfazendo (x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2). Calcule f^prime(x) no ponto de abscissa x=raiz32 e ordenada y=12.

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
l(x^2+y^2r)^2=2l(x^2-y^2r)
onde y=f(x). O que precisamos é de f'(x) no ponto l(x,yr)=l(tfracraiz32,tfrac12r). Vamos usar diferenciação implícita para encontrar y'.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, aplicamos a regra da cadeia no primeiro termo e derivamos o segundo termo como diferença:
ddxl(x^2+y^2r)^2 =ddxl[2l(x^2-y^2r)r]
No lado esquerdo, pela cadeia,
2l(x^2+y^2r)cdotddxl(x^2+y^2r) =2l(x^2+y^2r)l(2x+2y,y'r)
No lado direito,
ddxl[2(x^2-y^2)r] =2l(2x-2y,y'r)

Passo 3

Igualando as derivações e simplificando fator 2:
(x^2+y^2)l(2x+2y,y'r) =2x-2y,y'
Distribuindo o 2 dentro do parêntese:
2(x^2+y^2)x+2(x^2+y^2),y,y' =2x-2y,y'

Passo 4

Reagrupamos para isolar y'. Primeiro, levamos todos os termos com y' para um lado:
2(x^2+y^2),y,y' +2y,y' =2x -2(x^2+y^2)x
Fatorando y' e o outro lado:
y'l[,2yl(x^2+y^2r)+2yr] =2xl[1-(x^2+y^2)r]
Logo,
y'=2xl[1-(x^2+y^2)r]2yl[(x^2+y^2)+1r] =xl[1-(x^2+y^2)r]yl[(x^2+y^2)+1r]

Passo 5

No ponto dado l(x,yr)=l(tfracraiz32,tfrac12r) temos
x^2+y^2=34+14=1
Então o numerador
xl[1-(x^2+y^2)r] =raiz32(1-1)=0,
e o denominador é diferente de zero, de modo que
y'=0

Resposta

f'!l(tfracraiz32r)=0

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