Mostre que F(y1 g1+y2 g2) é igual a
(ll y1 & y2 )(ll c11 & c21 c12 & c22 )(ll a & b2 b2 & c )(ll c11 & c12 c21 & c22 )binomy1y2+(ll d & e )(ll c11 & c12 c21 & c22 )binomy1y2+f

Passo 1

O enunciado d’a uma forma quadr’atica
F(x)=x^Ta & tfracb2[6pt]tfracb2 & cx; + ; (d; e), x ; + ; f
e pede para avaliar Fl(y1g1+y2g2r). Vamos usar a propriedade de mudança de vari’avel em formas quadr’aticas, escrevendo
x = y1g1 + y2g2
em termos de uma matriz C que re’une g1 e g2 como colunas, e ent~ao aplicar
(Cy)^T A (Cy) = y^T C^T A C y
para o termo quadr’atico e
b^T (Cy) = (b^T C) y
para o termo linear.]

Passo 2

Definimos
C = c11 & c21 [3pt] c12 & c22 , y = y1 [3pt] y2 , A = a & tfracb2 [6pt] tfracb2 & c , b = d [3pt] e
Ent~ao
x = y1 g1 + y2 g2 = C y ]

Passo 3

Para o termo quadr’atico temos
x^T A x = (C y)^T A (C y) = y^T C^T A C y
Como A `e sim’etrica, podemos tamb’em escrever
y^T C^T A C y = y^T l(C A C^Tr) y,
e em notac~ao de linha e coluna:
x^T A x = (y1 ; y2) , c11 & c21 [3pt] c12 & c22 ! a & tfracb2 [6pt] tfracb2 & c ! c11 & c12 [3pt] c21 & c22 binomy1y2 ]

Passo 4

Para o termo linear temos
b^T x = b^T (C y) = (d ; e) , c11 & c21 [3pt] c12 & c22 binomy1y2
ou, organizando como no enunciado,
(d ; e) , c11 & c12 [3pt] c21 & c22 binomy1y2 ]

Passo 5

Somando tudo e acrescentando o termo constante f, obtemos exatamente
Fl(y1 g1 + y2 g2r) = (y1 ; y2) c11 & c21 [3pt] c12 & c22 a & tfracb2 [6pt] tfracb2 & c c11 & c12 [3pt] c21 & c22 binomy1y2 ; + ; (d ; e) , c11 & c12 [3pt] c21 & c22 binomy1y2 ; + ; f ]

Resposta

Fl(y1 g1 + y2 g2r) = (y1 ; y2) c11 & c21 [3pt] c12 & c22 a & tfracb2 [6pt] tfracb2 & c c11 & c12 [3pt] c21 & c22 binomy1y2 ; + ; (d ; e) , c11 & c12 [3pt] c21 & c22 binomy1y2 ; + ; f ]

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