Exercício 14. Dada uma função convexa própria f: R^n longrightarrow R cup+infty, definimos a sua função convexa conjugada f^*: R^n longrightarrow R cup+infty como
f^*(y)=sup x in R^n(lang<= x, yrang<=-f(x))
(i) Mostre que f^* é de fato convexa;
(ii) Trivialmente, vale a chamada desigualdade de Young:
lang<= x, yrang<= <= f(x)+f^*(y) para todos x, y in R^n
O nome da desigualdade é motivado por um caso particular mais famoso: prove que
f(x)=|x|^pp com p>1 Longrightarrow f^*(y)=|y|^qq com 1p+1q=1
para escrever a desigualdade de Young mais usual:
lang<= x, yrang<= <= |x|^pp+|y|^qq

Passo 1

O enunciado define a conjugada de Fenchel–Legendre de fcolonR^ntoRcup+infty por
f^*(y)=supxinR^nl(lang<= x,yrang<= - f(x)r)
Queremos (i) mostrar que f^* é convexa, (ii) derivar a desigualdade de Young genérica
lang<= x,yrang<= <= f(x)+f^*(y),
e finalmente, no caso especial
f(x)=lvert xrvert^pp, p>1,
achar explicitamente
f^*(y)=lvert yrvert^qq,1p+1q=1,
o que entrega a forma clássica
lang<= x,yrang<=<=lvert xrvert^p/p+lvert yrvert^q/q.

Passo 2

Para ver que f^* é convexa, basta notar que cada função
y;mapsto;lang<= x,yrang<= - f(x)
é afim (logo convexa) em y. Como o supremo de qualquer família de funções convexas continua convexa, temos: para y1,y2inR^n e tin[0,1],
f^*l(t y1+(1-t)y2r) &=supxl(lang<= x,t y1+(1-t)y2rang<= - f(x)r) &=supxl(t(lang<= x,y1rang<= -f(x))+(1-t)(lang<= x,y2rang<= -f(x))r) &<= tsupx(lang<= x,y1rang<= -f(x))+(1-t)supx(lang<= x,y2rang<= -f(x)) &=t,f^*(y1)+(1-t),f^*(y2)

Passo 3

Pela definição de supremo, para qualquer ponto x fixo temos
f^*(y)=supul(lang<= u,yrang<= -f(u)r);>=;lang<= x,yrang<= -f(x)
Rearranjando, obtemos a desigualdade de Young genérica
lang<= x,yrang<= <= f(x)+f^*(y),
válida para todos x,yinR^n.

Passo 4

Agora specialize em f(x)=lvert xrvert^p/p com p>1. Queremos calcular
f^*(y)=supxinR^nl(lang<= x,yrang<= -lvert xrvert^ppr)
Defina
varphi(x)=lang<= x,yrang<= -lvert xrvert^pp
Como p>1, varphi é estritamente concava e diferenciável, e o supremo ocorre onde nablavarphi(x)=0. Calculamos
nablavarphi(x) =y-lvert xrvert^p-2x Longrightarrow y=lvert xrvert^p-2x
Isto implica que x é colinear a y: escreva x=lambda y. Então
y=lvert lambda yrvert^p-2(lambda y) =lvert lambdarvert^p-2lambda,lvert yrvert^p-2y
e, para não anular y, toma-se lambda>0 e
1=lambda^p-1,lvert yrvert^p-2 Longrightarrow lambda =lvert yrvert^-(p-2)/(p-1) =lvert yrvert^q-2,
onde definimos q pelo sistema
;(p-1)(q-1)=1 ;Long<=ftrightarrow;tfrac1p+tfrac1q=1

Passo 5

Com x^*=lvert yrvert^q-2y, calculemos
lang<= x^*,yrang<= =lvert yrvert^q-2lang<= y,yrang<= =lvert yrvert^q,
e
lvert x^*rvert^pp =l(lvert yrvert^q-2lvert yrvertr)^pp =lvert yrvert^(q-1)pp =lvert yrvert^qp,
pois (q-1)p=q. Logo
f^*(y) =lang<= x^*,yrang<=-lvert x^*rvert^pp =lvert yrvert^q-lvert yrvert^qp =l(1-1pr)lvert yrvert^q =lvert yrvert^qq
Substituindo na desigualdade de Young genérica, vem
lang<= x,yrang<=<=lvert xrvert^pp+lvert yrvert^qq,
que é a forma usual.

Resposta

(i) f^* é convexa.
(ii) De fato lang<= x,yrang<=<= f(x)+f^*(y).
No caso f(x)=lvert xrvert^p/p com 1/p+1/q=1, tem-se
f^*(y)=lvert yrvert^qq,
e portanto
lang<= x,yrang<=<=lvert xrvert^pp+lvert yrvert^qq

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