Exercício 14. Dada uma função convexa própria
, definimos a sua função convexa conjugada
como
(i) Mostre que
é de fato convexa;
(ii) Trivialmente, vale a chamada desigualdade de Young:
O nome da desigualdade é motivado por um caso particular mais famoso: prove que
para escrever a desigualdade de Young mais usual:
(ii) Trivialmente, vale a chamada desigualdade de Young:
Passo 1
O enunciado define a conjugada de Fenchel–Legendre de
por
Queremos (i) mostrar que
é convexa, (ii) derivar a desigualdade de Young genérica
e finalmente, no caso especial
achar explicitamente
o que entrega a forma clássica
.
Passo 2
Para ver que
é convexa, basta notar que cada função
é afim (logo convexa) em
. Como o supremo de qualquer família de funções convexas continua convexa, temos: para
e
,
Passo 3
Pela definição de supremo, para qualquer ponto
fixo temos
Rearranjando, obtemos a desigualdade de Young genérica
válida para todos
.
Passo 4
Agora specialize em
com
. Queremos calcular
Defina
Como
,
é estritamente concava e diferenciável, e o supremo ocorre onde
. Calculamos
Isto implica que
é colinear a
: escreva
. Então
e, para não anular
, toma-se
e
onde definimos
pelo sistema
Passo 5
Com
, calculemos
e
pois
. Logo
Substituindo na desigualdade de Young genérica, vem
que é a forma usual.
Resposta
(i)
é convexa.
(ii) De fato .
No caso com
, tem-se
(ii) De fato
No caso
e portanto