Considere a função a seguir:
Calcule a série de Fourier para
estendida;
Passo 1
A função é f(x)=3−x definida para 0<x<3. Vamos estender f de forma periódica com período T=3 e desenvolver a série de Fourier completa. Para isso precisamos usar as fórmulas padrão para os coeficientes a₀, aₙ e bₙ de um sinal de período T.
Passo 2
Calcular o coeficiente a₀:
$$
a_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(x),dx=\frac{2}{3}\int_0^3(3-x),dx.$$
Computando a integral:
Logo
e portanto a₀/2=3/2.
Passo 3
Calcular os coeficientes aₙ para n≥1:
Fazendo integração por partes ou usando identidades, mostra-se que
logo aₙ=0 para todo n.
Passo 4
Calcular os coeficientes bₙ para n≥1:
Usando integração por partes define-se α=2πn/3 e obtém-se
o que dá
Passo 5
Montar a série de Fourier completa: só temos termo constante e senos, pois aₙ=0. Assim