Considere a função a seguir:
f(x)=3-x, 0
Calcule a série de Fourier para f estendida;

Passo 1

A função é f(x)=3−x definida para 0<x<3. Vamos estender f de forma periódica com período T=3 e desenvolver a série de Fourier completa. Para isso precisamos usar as fórmulas padrão para os coeficientes a₀, aₙ e bₙ de um sinal de período T.

Passo 2

Calcular o coeficiente a₀:
$$
a_0=\frac{2}{T}\int_0^T f(x),dx=\frac{2}{3}\int_0^3(3-x),dx.$$
Computando a integral:
a0=2Tintegral0^T f(x),dx=23integral0^3(3-x),dx
Logo
integral0^3(3-x),dx=l[3x-x^22r]0^3=9-92=92
e portanto a₀/2=3/2.

Passo 3

Calcular os coeficientes aₙ para n≥1:
an=23integral0^3(3-x)cosl(2pi n x3r),dx
Fazendo integração por partes ou usando identidades, mostra-se que
integral0^3(3-x)cosl(2pi n x3r)dx=0,
logo aₙ=0 para todo n.

Passo 4

Calcular os coeficientes bₙ para n≥1:
bn=23integral0^3(3-x)sinl(2pi n x3r),dx
Usando integração por partes define-se α=2πn/3 e obtém-se
integral0^3(3-x)sin(αx)dx=3α,
o que dá
bn=23cdot3α=23cdot32pi n/3=3pi n

Passo 5

Montar a série de Fourier completa: só temos termo constante e senos, pois aₙ=0. Assim
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(tfrac2pi n x3)+bnsin(tfrac2pi n x3)r) =32+sumn=1^infty3pi nsinl(2pi n x3r)

Resposta

f(x)=32+3pisumn=1^infty1nsinl(2pi n x3r)

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