Determine o termo geral das sequências abaixo:
e^n+1 an+1-3 e^n an=0, a0=1

Passo 1

O enunciado dá uma recorrência de primeira ordem homogênea: e^n+1an+1-3e^n an=0 com condição inicial a0=1. O assunto é resolução de equações de recorrência lineares homogêneas de primeira ordem.

Passo 2

Reescrevendo a recorrência para isolar an+1:
e^n+1an+1=3e^n an
Dividindo ambos os lados por e^n+1 obtém-se a relação de recorrência com razão constante:
an+1=3e^ne^n+1an=3e,an
Aqui a razão é r=3/e.

Passo 3

Uma recorrência do tipo an+1=r,an tem solução geral a partir de a0 dada por
an=a0,r^n .
Substituindo a0=1 e r=3/e, chega-se à forma fechada da sequência.

Resposta

an=l(3er)^n

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