Considere a função a seguir:
sin x=sumk=0^infty (-1)^k x^2 k+1(2 k+1)!, x in R
Encontre uma serie de potencias para cos x^2 e indique o intervalo de convergência;

Passo 1

O enunciado pede para obter a série de potências (Maclaurin) de cos(x^2) e determinar seu intervalo de convergência. Vamos usar o conhecimento sobre séries de Maclaurin e composição de séries para resolver.

Passo 2

Sabemos que a expansão de Maclaurin para cos z é dada por
cos z = sumk=0^infty (-1)^k z^2k(2k)!,
que converge para todo z in R.

Passo 3

Substituindo z = x^2 na série de cos z, obtemos
cos(x^2) = sumk=0^infty (-1)^k (x^2)^2k(2k)!
Agora simplificamos a potência: (x^2)^2k = x^4k.

Passo 4

Portanto, a série de potências para cos(x^2) é
cos(x^2) = sumk=0^infty (-1)^k x^4k(2k)!
Para verificar o intervalo de convergência, note que a substituição não altera o raio de convergência da série de cos z, que é infinito. Logo, a série converge para todo x in R.

Resposta

cos(x^2)=sumk=0^infty(-1)^k x^4k(2k)!, xin(-infty,infty)

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