Considere a função a seguir:
Encontre uma serie de potencias para
e indique o intervalo de convergência;
Passo 1
O enunciado pede para obter a série de potências (Maclaurin) de
e determinar seu intervalo de convergência. Vamos usar o conhecimento sobre séries de Maclaurin e composição de séries para resolver.
Passo 2
Sabemos que a expansão de Maclaurin para
é dada por
que converge para todo
.
Passo 3
Substituindo
na série de
, obtemos
Agora simplificamos a potência:
.
Passo 4
Portanto, a série de potências para
é
Para verificar o intervalo de convergência, note que a substituição não altera o raio de convergência da série de
, que é infinito. Logo, a série converge para todo
.