Considere a função a seguir:
f(x)=cos raizx
Calcule:
g(x)=integral0^x f(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
g(x)=∫₀ˣ f(t) dt, onde
f(x)=cos√x. Vamos usar técnicas de integração por substituição e por partes para chegar à expressão fechada de g(x).

Passo 2

Para simplificar ∫₀ˣ cos(√t) dt, fazemos a substituição
u=√t ⇒ t=u² ⇒ dt=2u du
Os limites mudam: t=0⇒u=0 e t=x⇒u=√x
Assim, temos
g(x)=integral0^xcos(raizt),dt=2integral0^raizxucos(u),du

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes
integral ucos u,du = usin u + cos u + C
Essa fórmula vem de escolher v’=cos u e w=u, pois
integral w,dv = wv - integral v,dw.
Então
2integral0^raizxucos(u),du = 2l[usin u + cos ur]0^raizx

Passo 4

Avaliando nos limites 0 e √x:
para u=√x: u sin u + cos u = √x sin(√x) + cos(√x)
para u=0: 0·sin0 + cos0 = 1
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g(x)=2l(raizxsin(raizx) + cos(raizx) - 1r)

Resposta

g(x)=2\sqrt{x}\sin(\sqrt{x}) + 2\cos(\sqrt{x}) - 2

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