Considere a função a seguir:
Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva
g(x)=∫₀ˣ f(t) dt, onde
f(x)=cos√x. Vamos usar técnicas de integração por substituição e por partes para chegar à expressão fechada de g(x).
g(x)=∫₀ˣ f(t) dt, onde
f(x)=cos√x. Vamos usar técnicas de integração por substituição e por partes para chegar à expressão fechada de g(x).
Passo 2
Para simplificar ∫₀ˣ cos(√t) dt, fazemos a substituição
u=√t ⇒ t=u² ⇒ dt=2u du
Os limites mudam: t=0⇒u=0 e t=x⇒u=√x
Assim, temos
u=√t ⇒ t=u² ⇒ dt=2u du
Os limites mudam: t=0⇒u=0 e t=x⇒u=√x
Assim, temos
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes
Essa fórmula vem de escolher v’=cos u e w=u, pois
.
Então
Essa fórmula vem de escolher v’=cos u e w=u, pois
Então
Passo 4
Avaliando nos limites 0 e √x:
para u=√x: u sin u + cos u = √x sin(√x) + cos(√x)
para u=0: 0·sin0 + cos0 = 1
Logo
para u=√x: u sin u + cos u = √x sin(√x) + cos(√x)
para u=0: 0·sin0 + cos0 = 1
Logo
Resposta
g(x)=2\sqrt{x}\sin(\sqrt{x}) + 2\cos(\sqrt{x}) - 2