Determine o termo geral das sequências abaixo:
an+2=-an, a0=1 e a1=0

Passo 1

Temos a sequência definida por an+2=-an com a0=1 e a1=0. Esse é um caso de recorrência linear de 2ª ordem e vamos usar a equação característica para resolver.

Passo 2

Supondo uma solução do tipo an=r^n, substituímos na recorrência e obtemos r^n+2=-r^n. Dividindo por r^n (com rneq0) vem a equação característica r^2+1=0, cujas raízes são r=pm i.

Passo 3

A solução geral da recorrência é dada por an=C,i^n + D,(-i)^n, onde C e D são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Usando a0=1 e a1=0: para n=0 temos C+D=1; para n=1 temos C,i + D(-i)=0, ou seja, i(C-D)=0. Dessas equações segue C=D=tfrac12.

Passo 5

Substituindo em an vem an=i^n+(-i)^n2 Observando que i^n+(-i)^n2=cosl(tfracnpi2r), concluímos o termo geral da sequência.

Resposta

an=cosl(tfracnpi2r)

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