Determine, se existir, os valores de a, b in R para que cada uma das funções abaixo sejam contínuas.
f(x)= x^2+b & se x <=-1 x+3 & se -10

Passo 1

Temos a função definida por partes:
f(x)=x^2+b,&x<=-1,x+3,&-10Queremos encontrar valores de a,b para que f seja contínua em todo R. Para isso, usamos a definição de continuidade num ponto c:
limxto c^-f(x)=limxto c^+f(x)=f(c)

Passo 2

No ponto x=-1, a continuidade exige que o valor à esquerda (primeira parte) seja igual ao limite à direita (segunda parte). Temos:
f(-1)=(-1)^2+b=1+b,
limxto-1^+(x+3)=-1+3=2
Igualando, obtemos 1+b=2, logo b=1.

Passo 3

No ponto x=0, a continuidade exige que o valor vindo da esquerda (segunda parte) seja igual ao limite vindo da direita (terceira parte). Calculamos:
f(0)=0+3=3,
limxto0^+sin(ax)x=acdotlimxto0^+sin(ax)ax=acdot1=a
(usando limtto0sin tt=1). Igualando, 3=a, logo a=3.

Resposta

a=3 e b=1

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