Considere a série a seguir:
Determine o seu raio de convergência;
Passo 1
Resumo do enunciado e o que vamos usar: Temos a série de potências
O objetivo é encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o teste da raiz, que é ferramenta padrão para achar raios de convergência de séries de potências.
Passo 2
Aplicação do teste da raiz: Se definirmos
então o teste da raiz pede o cálculo de
$$\limsup_{k\to\infty}\bigl|a_k xk\bigr|{1/k}
=|x|,\limsup_{k\to\infty}a_k^{1/k}.
=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{2,k^{1/k},(\ln k)^{1/(2k)}}.
$$
Como e
, esse limite é
.
Como
Passo 3
Determinação do raio de convergência: Pelo teste da raiz, a série converge se
$$|x|,\frac12<1\quad\Longleftrightarrow\quad|x|<2.
$$
Logo, o raio de convergência é o valor de tal que
, ou seja,
.
Logo, o raio de convergência é o valor de
Resposta
2