Considere a série a seguir:
sumk=2^infty x^k2^k k raizln k
Determine o seu raio de convergência;

Passo 1

Resumo do enunciado e o que vamos usar: Temos a série de potências
sumk=2^infty x^k2^k,k,raizln k
O objetivo é encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o teste da raiz, que é ferramenta padrão para achar raios de convergência de séries de potências.

Passo 2

Aplicação do teste da raiz: Se definirmos
ak = 12^k,k,raizln k
então o teste da raiz pede o cálculo de
$$\limsup_{k\to\infty}\bigl|a_k xk\bigr|{1/k}
=|x|,\limsup_{k\to\infty}a_k^{1/k}.
limsupktoinftyl|ak x^kr|^1/k =|x|,limsupktoinftyak^1/k \lim_{k\to\infty}a_k^{1/k}
=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{2,k^{1/k},(\ln k)^{1/(2k)}}.
$$
Como limktoinftyak^1/k =limktoinfty12,k^1/k,(ln k)^1/(2k) e k^1/kto1, esse limite é (ln k)^1/(2k)to1.

Passo 3

Determinação do raio de convergência: Pelo teste da raiz, a série converge se
$$|x|,\frac12<1\quad\Longleftrightarrow\quad|x|<2.
$$
Logo, o raio de convergência é o valor de |x|,12<1Long<=ftrightarrow|x|<2 tal que R, ou seja, |x|.

Resposta

2

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