1. Mostre que, se tildea(omega)=sumk=0^infty ak omega^-k convergir para algum omega in C, então tildea(z) convergirá para todo z in C satisfazendo |z|>|omega|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a região de convergência da série tilde a(z)=sumk=0^infty ak z^-k é um conjunto do tipo |z|>R. Aqui o conteúdo é séries de potências (em z^-1) e vamos usar comparação com série geométrica e o fato de termos convergência em um ponto para obter convergência em todo ponto mais exterior.

Passo 2

Como sumk=0^infty ak,omega^-k converge em omega, seus termos gerais tendem a zero. Em particular, a sequência |ak,omega^-k| é limitada. Logo existem constantes M>0 e K tais que para todo k>=0 vale
|ak,omega^-k|<= M

Passo 3

Agora tome qualquer zinC com |z|>|omega|. Defina
deã

Passo 4

Para cada k>=0 temos
|ak,z^-k| = |ak,omega^-k|;l|omegazr|^k <= M,de

Passo 5

Como sumk=0^infty M,de é uma série geométrica convergente (porque de), pelo critério da comparação absoluta concluímos que sumk=0^infty ak,z^-k converge também.

Resposta

Logo, se tilde a(omega) converge para algum omega, então tilde a(z) converge absolutamente para todo z com |z|>|omega|.

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