Mostre que, se convergir para algum , então convergirá para todo satisfazendo .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a região de convergência da série é um conjunto do tipo . Aqui o conteúdo é séries de potências (em ) e vamos usar comparação com série geométrica e o fato de termos convergência em um ponto para obter convergência em todo ponto mais exterior.
Passo 2
Como converge em , seus termos gerais tendem a zero. Em particular, a sequência é limitada. Logo existem constantes e tais que para todo vale
Passo 3
Agora tome qualquer com . Defina
Passo 4
Para cada temos
Passo 5
Como sumk=0^infty M,de é uma série geométrica convergente (porque de), pelo critério da comparação absoluta concluímos que sumk=0^infty ak,z^-k converge também.
Resposta
Logo, se tilde a(omega) converge para algum omega, então tilde a(z) converge absolutamente para todo z com |z|>|omega|.