O estudo de máximos e mínimos de funções pode ser realizado por meio das características da função e de suas derivadas, a partir dos testes correspondentes.
Com base nesse tema, seja a função real:
f(x)=x^3-12 x-5
A respeito dessa função, analise as seguintes afirmações:
  1. A função f admite um único ponto crítico.
    II. A função f assume um valor máximo local em x=-2.
    III. A funçäo fassume um valor mínimo local em x=2
    Está correto o que se afirma apenas em:
    A.
B.
lell.
C.
III.
D.
le III.
E
© II e III.

Passo 1

Vamos estudar a função f(x)=x^3−12x−5 para determinar seus pontos críticos e classificá-los.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para achar os pontos críticos. A derivada é
f'(x)=3x^2−12=3(x^2−4)
Resolvendo f’(x)=0, temos x^2−4=0, ou seja, x=−2 e x=2. Logo existem dois pontos críticos, e não apenas um.

Passo 3

Agora usamos a derivada segunda para classificar esses pontos. A derivada segunda é
f''(x)=6x
Em x=−2 temos f’’(−2)=6⋅(−2)=−12<0, indicando máximo local. Em x=2 temos f’’(2)=6⋅2=12>0, indicando mínimo local.

Passo 4

Portanto, a afirmação I (apenas um ponto crítico) é falsa, enquanto II (máximo em x=−2) e III (mínimo em x=2) são verdadeiras.

Resposta

II e III

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