Considere a função
f(x)=ll sen(pi x) & x<1 2^x^2 & x>1 g(x)= x^2 & x<-2 x+6x^2-x & -1= 2
Determine (caso existam)
  1. f(1)
  2. lim x 0 f(x)
  3. lim x 1 f(x)
  4. g(-3 / 2)
  5. g(2)
  6. g(3 / 2)
  7. lim x -2 g(x)
  8. lim x -1^+ g(x)
  9. lim x 2 g(x)
  10. lim x 0 g(x)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função por trechos f(x)=sen(πx) para x<1 e f(x)=2{x{2}} para x>1, e a função g(x) com três trechos: x^{2} em x<−2, (x+6)/(x^{2}−x) em −1<x<2, e 3x−2 em x≥2. Vamos precisar aplicar definição de função por partes e cálculos de limites unilaterais e bilaterais.

Passo 2

Para calcular f(1), observamos que não há definição de f em x=1 (ela só está definida para x<1 e x>1). Logo, f(1) não existe.

Passo 3

Para
lim_{x 0} f(x), como 0<1, usamos f(x)=sen(πx). Então
lim_{x 0} sen(πx)=sen(0)=0.

Passo 4

Para
lim_{x 1} f(x), calculamos as duas bandas: à esquerda
lim_{x 1^-} sen(πx)=sen(π)=0 e à direita
lim_{x 1^+} 2{x{2}}=2^{1}=2. Como 0≠2, o limite não existe.

Passo 5

Para g(-3/2), verificamos que x=−1.5 não pertence a nenhum dos intervalos de definição (x<−2 ou −1<x<2 ou x≥2). Logo, g(-3/2) não existe.

Passo 6

Para g(2), como 2≥2 aplicamos g(x)=3x−2, obtendo g(2)=3·2−2=4.

Passo 7

Para g(3/2), como −1<3/2<2 usamos g(x)=(x+6)/(x^{2}−x). Então g(3/2)=(1.5+6)/(2.25−1.5)=7.5/0.75=10.

Passo 8

Para
lim_{x −2} g(x), o limite à esquerda (x<−2) dá x^{2}→4, mas à direita não há definição de g em (−2,−1), então não existe limite à direita. Logo, o limite bilateral não existe.

Passo 9

Para
lim_{x −1^{+}} g(x), usamos o ramo (x+6)/(x^{2}−x) em −1<x<2. Substituindo x=−1, temos (−1+6)/(1+1)=5/2.

Passo 10

Para
lim_{x 2} g(x), à esquerda (racional) temos (2+6)/(4−2)=4 e à direita (3x−2) dá 3·2−2=4. Como coincidem, o limite é 4.

Passo 11

Para
lim_{x 0} g(x), no ramo racional (−1<x<2) temos denominador x^{2}−x= x(x−1)→0. Analisando sinais, de x→0^- o quociente→+∞ e de x→0^+→−∞. Como as duas direções divergem e não coincidem, o limite não existe.

Resposta

  1. f(1) não existe
  2. \nlim_{x\to0} f(x)=0
  3. \nlim_{x\to1} f(x) não existe
  4. g(-3/2) não existe
  5. g(2)=4
  6. g(3/2)=10
  7. \nlim_{x\to−2} g(x) não existe
  8. \nlim_{x\to−1^{+}} g(x)=5/2
  9. \nlim_{x\to2} g(x)=4
  10. \nlim_{x\to0} g(x) não existe

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