Resumo do enunciado: temos a função por trechos f(x)=sen(πx) para x<1 e f(x)=2{x{2}} para x>1, e a função g(x) com três trechos: x^{2} em x<−2, (x+6)/(x^{2}−x) em −1<x<2, e 3x−2 em x≥2. Vamos precisar aplicar definição de função por partes e cálculos de limites unilaterais e bilaterais.
Passo 2
Para calcular f(1), observamos que não há definição de f em x=1 (ela só está definida para x<1 e x>1). Logo, f(1) não existe.
Passo 3
Para
lim_{x 0} f(x), como 0<1, usamos f(x)=sen(πx). Então
lim_{x 0} sen(πx)=sen(0)=0.
Passo 4
Para
lim_{x 1} f(x), calculamos as duas bandas: à esquerda
lim_{x 1^-} sen(πx)=sen(π)=0 e à direita
lim_{x 1^+} 2{x{2}}=2^{1}=2. Como 0≠2, o limite não existe.
Passo 5
Para g(-3/2), verificamos que x=−1.5 não pertence a nenhum dos intervalos de definição (x<−2 ou −1<x<2 ou x≥2). Logo, g(-3/2) não existe.
Passo 6
Para g(2), como 2≥2 aplicamos g(x)=3x−2, obtendo g(2)=3·2−2=4.
Passo 7
Para g(3/2), como −1<3/2<2 usamos g(x)=(x+6)/(x^{2}−x). Então g(3/2)=(1.5+6)/(2.25−1.5)=7.5/0.75=10.
Passo 8
Para
lim_{x −2} g(x), o limite à esquerda (x<−2) dá x^{2}→4, mas à direita não há definição de g em (−2,−1), então não existe limite à direita. Logo, o limite bilateral não existe.
Passo 9
Para
lim_{x −1^{+}} g(x), usamos o ramo (x+6)/(x^{2}−x) em −1<x<2. Substituindo x=−1, temos (−1+6)/(1+1)=5/2.
Passo 10
Para
lim_{x 2} g(x), à esquerda (racional) temos (2+6)/(4−2)=4 e à direita (3x−2) dá 3·2−2=4. Como coincidem, o limite é 4.
Passo 11
Para
lim_{x 0} g(x), no ramo racional (−1<x<2) temos denominador x^{2}−x= x(x−1)→0. Analisando sinais, de x→0^- o quociente→+∞ e de x→0^+→−∞. Como as duas direções divergem e não coincidem, o limite não existe.