Considere a função
a) Calcule, se existir, o limite de f quando
tende para
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis,
, que é definida de duas maneiras diferentes dependendo de onde estamos no plano. A gente precisa calcular o limite dessa função quando
se aproxima de
. Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e ver se conseguimos simplificar essa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão principal da função quando
:
O que a gente precisa entender aqui é como o numerador e o denominador se comportam quando
e
estão indo para 0.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição: seja
. Isso é útil porque, quando
se aproxima de
,
também vai para 0. Com essa substituição, a função fica:
Agora, nossa tarefa é encontrar o limite de
quando
tende a 0.
Passo 4
Lembrando de um limite conhecido da análise:
Aqui, se a gente deixar
, então:
Portanto, o limite da nossa função
quando
tende a
é 1.
Resposta
O limite de
quando
tende para
é igual a 1.