Função de várias variáveis: Considere a função f(x, y) = 1 / raiz(y - raiz(x)).
a) Descreva a região D no plano XY que corresponde ao domínio da função dada.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função de duas variáveis . Precisamos encontrar a região no plano XY onde essa função está definida, ou seja, determinar todos os pares que tornam a função válida. Para isso, vamos analisar as condições que garantem que o denominador da fração seja um número real e diferente de zero.

Passo 2

Vamos olhar para o denominador . Para que a expressão dentro da raiz quadrada seja real e definida, precisamos que:
Isso garante que o radicando seja positivo, já que a raiz quadrada de um número não positivo não está definida nos números reais.

Passo 3

Além disso, dentro da expressão , o próprio radicando também precisa ser não negativo:
Isso porque a raiz quadrada de um número negativo não está definida nos números reais.

Passo 4

Agora, temos duas condições que precisam ser satisfeitas simultaneamente:
Podemos reescrever a segunda condição para facilitar a visualização da região:

Passo 5

Vamos interpretar essas condições no plano XY:
  • A condição significa que consideramos apenas os valores de à direita do eixo Y.
  • A condição descreve a região acima da curva .

Passo 6

Juntando essas duas condições, a região corresponde a todos os pontos onde:
  • é maior ou igual a zero.
  • é maior que .
Isso representa a área no plano XY que está à direita do eixo Y e acima da curva .

Resposta

A região no plano XY que corresponde ao domínio da função é o conjunto de todos os pontos tais que:

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