(1,0 p.) Considere a função
. Calcule o valor do limite
Solução:
Com efeito, temos que
Passo 1
O problema pede pra calcular o limite que define a derivada de f(x)=sen x no ponto x=2023. A matéria é derivadas de funções e vamos precisar da definição de derivada como limite, de uma identidade trigonométrica para diferença de senos e do limite fundamental
Passo 2
Usando a definição de derivada, temos
Passo 3
Para simplificar essa expressão, aplicamos a identidade
o que dá
Passo 4
Substituindo de volta no quociente, fica
$$\frac{\sin(2023+h)-\sin(2023)}{h}=\frac{2\sin\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)\cos\bigl(2023+\tfrac{h}{2}\bigr)}{h}
=\frac{\sin\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{\tfrac{h}{2}}\cdot\cos\Bigl(2023+\tfrac{h}{2}\Bigr).$$
Passo 5
Agora separamos o limite em dois fatores:
Passo 6
Multiplicando os resultados, obtemos f’(2023)=1·cos 2023, ou seja, f’(2023)=cos 2023.