4^a (1,0 p.) Considere a função f(x)=sen x. Calcule o valor do limite
lim h 0 f(2023+h)-f(2023)h
Solução:
Com efeito, temos que
lim h 0 f(2023+h)-f(2023)h & =lim h 0 sen(2023+h)-sen(2023)h & =lim h 0 2 sen(h2) cos (2023+h2h & =lim h 0 sen(h2)h2 cdot lim h 0 cos (2023+h2) & =cos 2023

Passo 1

O problema pede pra calcular o limite que define a derivada de f(x)=sen x no ponto x=2023. A matéria é derivadas de funções e vamos precisar da definição de derivada como limite, de uma identidade trigonométrica para diferença de senos e do limite fundamental
limuto0sin uu=1.

Passo 2

Usando a definição de derivada, temos
f'(2023)=limhto0f(2023+h)-f(2023)h=limhto0sin(2023+h)-sin(2023)h

Passo 3

Para simplificar essa expressão, aplicamos a identidade
sin A-sin B=2sinl(A-B2r)cosl(A+B2r),
o que dá
sin(2023+h)-sin(2023)=2sinl(h2r)cosl(2023+h2r)

Passo 4

Substituindo de volta no quociente, fica
$$\frac{\sin(2023+h)-\sin(2023)}{h}=\frac{2\sin\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)\cos\bigl(2023+\tfrac{h}{2}\bigr)}{h}
=\frac{\sin\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{\tfrac{h}{2}}\cdot\cos\Bigl(2023+\tfrac{h}{2}\Bigr).$$

Passo 5

Agora separamos o limite em dois fatores:
limhto0sinl(tfrach2r)tfrach2=1elimhto0cosl(2023+tfrach2r)=cos(2023)

Passo 6

Multiplicando os resultados, obtemos f’(2023)=1·cos 2023, ou seja, f’(2023)=cos 2023.

Resposta

cos 2023

Exercícios relacionados