3 ^a Considere a função
f(x)=l x^2-x+12 x^2+x+2, se x<0 A^2-A2, se x=0 sen xx+sen x, se x>0
onde A in R é uma constante.
a) ( 1 , 0 p.) Determine os valores da constante A para os quais f é contínua no ponto x=0.
Solução:
Notemos que lim x 0^- x^2-x+12 x^2+x+2=0^2-0+12 cdot 0^2+0+2=12 e que lim x 0^+ sen xx+sen x=lim x 0^+ sen xxx+sen xx =11+1=12.
Para que f seja contínua em x=0 devemos ter A^2-A2=12 Rightarrow A=1 ou A=-12.
b) ( 1 , 0 p.) Determine os valores da constante A para os quais f é descontínua no ponto x=0 e especifique o tipo de descontinuidade.
Solução:
A função f será descontínua para A neq 1 e A neq-12, e pelo item anterior teremos uma descontinuidade de 1^a espécie em x=0.

Passo 1

Temos a função por partes
f(x)= x^2-x+12x^2+x+2, &x<0 A^2-A2, &x=0 sin xx+sin x, &x>0
e queremos estudar a continuidade em x=0. Para isso, vamos calcular os limites laterais em 0 e comparar com f(0)=A^{2}-A/2.

Passo 2

Calcular o limite à esquerda:
limxto0^-x^2-x+12x^2+x+2 =0^2-0+12cdot0^2+0+2 =12

Passo 3

Calcular o limite à direita: dividimos numerador e denominador por x e usamos limxto0^+sin xx=1.
limxto0^+sin xx+sin x =limxto0^+sin xx1+sin xx =11+1 =12

Passo 4

Para que f seja contínua em 0, precisamos de
A^2-A2=12
Resolvendo a equação:
2A^2-A-1=0 Longrightarrow A=1pmraiz1+84=1pm34
Logo, A=1 ou A=-tfrac12.

Passo 5

Se Aneq1 e Aneq-tfrac12, então f(0)neqlimxto0f(x) e f é descontínua em x=0. Como os limites laterais existem e coincidem, trata-se de descontinuidade de primeira espécie (removível).

Resposta

a) A=1 ou A=-tfrac12.
b) Para Aneq1 e Aneq-tfrac12, f é descontínua em x=0, com descontinuidade de primeira espécie (removível).

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