Considere a curva parametrizada por $$ \vec{r}(t)=\left(\cos t+t \sin t, \sin t-t \cos t, \frac{1}{2} t^{2}\right), \quad 0 \leq t \leq \ell ?

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
vec r(t)=l(cos t + tsin t,;sin t - tcos t,;tfrac12,t^2r), 0<= t<= ell
e pergunta se existe algum alphain[0,ell] tal que
vec r(alpha)=vec r(0)
Para que dois vetores sejam iguais, todas as três componentes devem coincidir.

Passo 2

Calculemos vec r(0). Substituindo t=0 na terceira coordenada:
z(0)=tfrac12cdot0^2=0
Agora imponha z(alpha)=z(0). Da definição,
z(alpha)=tfrac12,alpha^2,
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tfrac12,alpha^2=0 Longrightarrow alpha^2=0 Longrightarrow alpha=0

Passo 3

Como a coordenada z(t)=tfrac12,t^2 é estritamente crescente para t>0, não há outra solução em (0,ell]. Portanto, o único alphain[0,ell] com vec r(alpha)=vec r(0) é alpha=0.

Resposta

O único alpha que satisfaz vec r(alpha)=vec r(0) é
alpha=0

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