Considere a região
limitada pelo círculo
no primeiro quadrante.
Calcule a integral dupla da função
sobre a região
.
Calcule a integral dupla da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla da função
sobre a região
, que é a parte do círculo
que está no primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando estamos lidando com regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. O círculo
tem raio 2, e como estamos no primeiro quadrante, tanto
quanto
são positivos. Em coordenadas polares, isso significa que o raio
varia de 0 a 2 e o ângulo
varia de 0 a
(90 graus).
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função
em coordenadas polares. Sabemos que:
Substituindo na função:
Passo 4
A integral dupla em coordenadas cartesianas
se transforma em coordenadas polares assim:
Aqui,
.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral dupla fica:
Agora, integramos em relação a
:
Para a primeira parte:
Fazendo uma substituição
,
:
Para a segunda parte:
Resposta
Somando as duas partes:
Então, a integral dupla de
sobre a região
é igual a 4,8.