Considere a região R limitada pelo círculo x^2+y^2=4 no primeiro quadrante.
Calcule a integral dupla da função f(x, y)=x^2 y+y sobre a região R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla da função f(x, y) = x^2 y + y sobre a região R , que é a parte do círculo x^2 + y^2 = 4 que está no primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando estamos lidando com regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R . O círculo x^2 + y^2 = 4 tem raio 2, e como estamos no primeiro quadrante, tanto x quanto y são positivos. Em coordenadas polares, isso significa que o raio r varia de 0 a 2 e o ângulo theta varia de 0 a pi2 (90 graus).

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função f(x, y) em coordenadas polares. Sabemos que:
x = r cos theta y = r sin theta
Substituindo na função:
f(x, y) = (r cos theta)^2 (r sin theta) + r sin theta = r^3 cos^2 theta sin theta + r sin theta

Passo 4

A integral dupla em coordenadas cartesianas integral duplaR f(x, y) , dA se transforma em coordenadas polares assim:
integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^pi2 integral0^2 ( r^3 cos^2 theta sin theta + r sin theta ) r , dr , dtheta
Aqui, dA = r , dr , dtheta .

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
r^3 cos^2 theta sin theta + r sin theta = r^4 cos^2 theta sin theta + r^2 sin theta
Então, a integral fica:
integral0^pi2 integral0^2 ( r^4 cos^2 theta sin theta + r^2 sin theta ) , dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a r primeiro:
integral0^2 r^4 cos^2 theta sin theta , dr = cos^2 theta sin theta integral0^2 r^4 , dr = cos^2 theta sin theta [ r^55 ]0^2 = cos^2 theta sin theta cdot 325
integral0^2 r^2 sin theta , dr = sin theta integral0^2 r^2 , dr = sin theta [ r^33 ]0^2 = sin theta cdot 83
Então, a integral dupla fica:
325 cos^2 theta sin theta + 83 sin theta
Agora, integramos em relação a theta :
integral0^pi2 ( 325 cos^2 theta sin theta + 83 sin theta ) dtheta
Para a primeira parte:
325 integral0^pi2 cos^2 theta sin theta , dtheta
Fazendo uma substituição u = cos theta , du = -sin theta , dtheta :
- 325 integral1^0 u^2 , du = 325 integral0^1 u^2 , du = 325 cdot 13 = 3215
Para a segunda parte:
83 integral0^pi2 sin theta , dtheta = 83 [ -cos theta ]0^pi2 = 83 (0 - (-1)) = 83

Resposta

Somando as duas partes:
3215 + 83 = 3215 + 4015 = 7215 = 245 = 4,8
Então, a integral dupla de f(x, y) = x^2 y + y sobre a região R é igual a 4,8.

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