Achar a expressão da função f=f(x, y), supondo que:
f(x+y, x-y)=x y+y^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f de duas variáveis tal que
f(x+y,\,x-y)=x\,y+y^{2}.
Precisamos determinar a expressão geral de f(x,y). A técnica é usar mudança de variáveis e inverter o sistema.

Passo 2

Introduzimos
u=x+y,\quad v=x-y
e resolvemos para x e y. Somando u+v obtemos u+v=2x, logo
x=\frac{u+v}{2}.
Subtraindo u-v obtemos u-v=2y, logo
y=\frac{u-v}{2}.

Passo 3

Substituímos essas expressões na identidade
f(u,v)=x\,y+y^{2}
para escrever f em função de u e v.

Passo 4

Fazemos a substituição:
f(u,v)=\frac{u+v}{2}\cdot\frac{u-v}{2}+\Bigl(\frac{u-v}{2}\Bigr)^{2}.
Expandindo e simplificando:
f(u,v)=\frac{u^{2}-v^{2}}{4}+\frac{u^{2}-2u v+v^{2}}{4} =\frac{2u^{2}-2u v}{4} =\frac{u^{2}-u v}{2}.

Resposta

A expressão de f(x,y) é
f(x,y)=\frac{x^{2}-x\,y}{2}.

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