Determinar a expressão da função f=f(x), supondo que:
f\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{y}, \quad(x y>0)

Passo 1

O enunciado nos dá uma função unária f tal que, para quaisquer x,y com x\,y>0, vale
f\!\bigl(\tfrac yx\bigr)=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{y}.
O objetivo é descobrir f(u) em termos de u onde u=\tfrac yx.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = \frac yx,
o que implica y = u\,x. Como estamos no caso x\,y>0, tomamos x>0 e y>0 para evitar ambiguidades de sinal.

Passo 3

Substituímos y=u\,x na expressão dada:
f(u) = f\!\bigl(\tfrac yx\bigr) = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{y} = \frac{\sqrt{x^2 + (u\,x)^2}}{u\,x} = \frac{\sqrt{x^2\bigl(1+u^2\bigr)}}{u\,x} = \frac{x\sqrt{1+u^2}}{u\,x} = \frac{\sqrt{1+u^2}}{u}.
Repare que, ao assumir x>0, não há questão de sinal na simplificação.

Passo 4

Concluímos que, para u>0,
f(u)=\frac{\sqrt{1+u^2}}{u}.
Como a variável genérica de f chamamos de x, a resposta final fica:

Resposta

f(x)=\frac{\sqrt{1+x^2}}{x},\quad x>0.

Exercícios relacionados