- Considere a função
. A função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado quer saber se a função
satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio (TVM) no intervalo
. Para aplicar o TVM, precisamos verificar dois requisitos:
-
é contínua em . -
é diferenciável em .
Passo 2
Verificamos a continuidade de
. Como a raiz cúbica é uma função elementar contínua em todo
, concluímos que
Passo 3
Agora vamos à diferenciabilidade. Para
, podemos derivar:
Esse quociente só faz sentido quando
. Em
o expoente
torna
indefinido (o limite lateral do quociente diferencial tende a infinito). Logo,
que fica dentro de
.
Passo 4
Como falta diferenciabilidade em
, a hipótese do TVM em
não está toda satisfeita. Portanto, não podemos aplicar o Teorema do Valor Médio a
no intervalo
.
Resposta
A função não satisfaz as hipóteses do TVM em
, pois embora seja contínua, deixa de ser diferenciável em
.