1. Considere a função f(x)=\sqrt[3]{x}. A função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo [-1,1] ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado quer saber se a função
f(x)=\sqrt[3]{x}
satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio (TVM) no intervalo [-1,1]. Para aplicar o TVM, precisamos verificar dois requisitos:
  1. f é contínua em [-1,1].
  2. f é diferenciável em (-1,1).

Passo 2

Verificamos a continuidade de f(x)=\sqrt[3]{x}. Como a raiz cúbica é uma função elementar contínua em todo \mathbb{R}, concluímos que
f \text{ é contínua em }[-1,1].éí

Passo 3

Agora vamos à diferenciabilidade. Para x\neq0, podemos derivar:
f'(x) =\bigl(x^{1/3}\bigr)' =\frac{1}{3}\,x^{-2/3}.
Esse quociente só faz sentido quando x\neq0. Em x=0 o expoente -2/3 torna f'(0) indefinido (o limite lateral do quociente diferencial tende a infinito). Logo,
f \text{ não é diferenciável em }x=0,ãéá
que fica dentro de (-1,1).

Passo 4

Como falta diferenciabilidade em x=0, a hipótese do TVM em (-1,1) não está toda satisfeita. Portanto, não podemos aplicar o Teorema do Valor Médio a f no intervalo [-1,1].

Resposta

A função não satisfaz as hipóteses do TVM em [-1,1], pois embora seja contínua, deixa de ser diferenciável em x=0.

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