Para cada uma das funções a seguir, determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão, os intervalos de concavidade e os limites no infinito (se aplicável). Em seguida, use essas informações para esboçar o gráfico da função.
8.
8.
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função
determinando os pontos críticos (para monotonicidade), intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão (para concavidade), intervalos de concavidade e os limites em
. Para isso, vamos usar derivadas primeira e segunda, além de comportamento de polinômios de grau ímpar.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira para achar os pontos críticos:
Igualando a zero:
Esses são os pontos críticos.
Passo 3
Para ver onde
cresce ou decresce, analisamos o sinal de
- Se
, e , logo . - Se
, e , logo . - Se
, e , logo .
Portanto,
é crescente em
e em
,
é decrescente em
.
Os valores de
nesses pontos são
Logo temos um máximo local em
e um mínimo local em
.
Passo 4
Calculamos a derivada segunda para concavidade e inflexão:
Igualando a zero:
Esse é o candidato a ponto de inflexão.
Passo 5
Analisamos o sinal de
:
- Se
, então , ou seja, é côncava para baixo. - Se
, então , ou seja, é côncava para cima.
O ponto de inflexão é
. Calculando
Então o ponto de inflexão é
.
Passo 6
Como
é um polinômio de grau 3 com coeficiente líder positivo:
Passo 7
Resumo dos resultados:
- Pontos críticos:
(máximo local) e (mínimo local). - Crescimento:
e . - Decrescimento:
. - Ponto de inflexão:
. - Concavidade: côncava para baixo em
, côncava para cima em . - Limites:
, .
Com esses dados, o esboço do gráfico começa vindo de
, sobe até o máximo em
, desce atravessando o ponto de inflexão em
, atinge o mínimo em
e depois sobe para
, trocando de concavidade em
.
Resposta
Pontos críticos:
(máx.) e
(mín.).
Crescente em e
; decrescente em
.
Ponto de inflexão: .
Concavidade: côncava para baixo em , côncava para cima em
.
Limites: ,
.
Gráfico: sobe até , depois desce passando por
, atinge
e sobe para
.
Crescente em
Ponto de inflexão:
Concavidade: côncava para baixo em
Limites:
Gráfico: sobe até