1. Verifique se a função f(x)=x^{3}-x satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo [0,2]. Em caso afirmativo, encontre todos os números c que satisfazem a conclusão do teorema.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teorema do Valor Médio à função f(x)=x^3 - x no intervalo [0,2]. Vamos precisar verificar que f é contínua em [0,2] e derivável em (0,2), depois calcular a inclinação da reta secante em [0,2] e encontrar todos os c\in(0,2) tais que
f'\text{(c)}=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}.

Passo 2

Como f(x)=x^3 - x é um polinômio, ela é contínua em todo \mathbb{R} e derivável em todo \mathbb{R}. Logo, em particular, satisfaz as hipóteses de continuidade em [0,2] e de diferenciabilidade em (0,2).

Passo 3

Calculamos a inclinação da reta secante que liga (0,f(0)) a (2,f(2)).
Primeiro,
f(0)=0^3-0=0,\qquad f(2)=2^3-2=6.
Portanto,
\frac{f(2)-f(0)}{2-0} =\frac{6-0}{2} =3.

Passo 4

Agora obtemos a derivada de f e igualamos a 3:
f'(x)=3x^2-1,
logo
3c^2 - 1 = 3 \quad\Longrightarrow\quad 3c^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad c^2 = \frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad c = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}.
Mas o Teorema do Valor Médio garante um c em (0,2), então descartamos o sinal negativo e ficamos com
c = \frac{2}{\sqrt{3}}.

Resposta

c = \frac{2}{\sqrt{3}}.

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