1. Seja f(x)=\frac{x+1}{x-3}. É possível aplicar o Teorema do Valor Médio a f no intervalo [0,4] ? Explique por quê.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x+1}{x-3}
e pergunta se podemos aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM) a f no intervalo [0,4]. O conteúdo aqui é o TVM, e vamos precisar checar as hipóteses de continuidade em [0,4] e de derivabilidade em (0,4).

Passo 2

O Teorema do Valor Médio diz que, se uma função f é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), então existe algum c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Passo 3

Vamos verificar as hipóteses para f(x)=\frac{x+1}{x-3} em [0,4]. A função f não está definida em x=3, pois dá divisão por zero. Logo o domínio de f é
\mathbb{R}\setminus\{3\},
e x=3 pertence ao intervalo [0,4]. Portanto f não é contínua em x=3 (nem derivável ali).

Resposta

Não é possível aplicar o Teorema do Valor Médio a f em [0,4], pois f falha a hipótese de continuidade em x=3\in[0,4].

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