Considere a função y(x)=sumn=0^infty(-1)^n (2 x)^2 n(2 n)! definida para x in R.
(a) Calcule y^prime prime(x)
(b) Verifique que y^prime prime(x)+4 y(x)=0

Passo 1

O enunciado define
y(x)=sumn=0^infty(-1)^n(2x)^2n(2n)!
para xinR, e pede:
(a) calcular y''(x) por diferenciação termo a termo, usando a regra da potência;
(b) verificar que
y''(x) + 4,y(x) = 0

Passo 2

Diferenciando termo a termo, para n>=1 cada termo é
an(x)=(-1)^n(2x)^2n(2n)!
Usando tfracddxx^k=k,x^k-1, temos
y'(x)=sumn=1^infty(-1)^n2n,(2x)^2n-1(2n)! =sumn=1^infty(-1)^n4^n(2n-1)!x^2n-1

Passo 3

Diferenciando novamente, para n>=1:
y''(x) =sumn=1^infty(-1)^n4^n(2n-1),x^2n-2(2n-1)! =sumn=1^infty(-1)^n4^n(2n-2)!x^2n-2
Fazendo a mudança de índice m=n-1, obtemos
y''(x) =summ=0^infty(-1)^m+14^m+1(2m)!x^2m =-4summ=0^infty(-1)^m4^m(2m)!x^2m =-4,y(x)

Passo 4

Do resultado acima segue imediatamente que
y''(x)+4,y(x) =-4,y(x)+4,y(x) =0,
o que verifica a equação desejada.

Resposta

(a) y''(x)=-4,y(x).
(b) De fato ,y''(x)+4,y(x)=0.

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