Encontre o trabalho realizado pelo campo de forças vecF(x, y, z)=(x^2+y, y^2+x, z e^z) sobre os caminhos de (1,0,0) a (1,0,1) a seguir.
Segmento de reta que une esses pontos;

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo de forças
vec F(x,y,z)=(x^2+y,;y^2+x,;z e^z)
ao longo do segmento de reta que vai de (1,0,0) a (1,0,1).
Conteúdo: integral de linha (trabalho) de campo vetorial. Precisamos parametrizar a curva, calcular vec Fl(r(t)r), o vetor diferencial dr, o produto escalar e enfim integrar.

Passo 2

Parametrizamos o segmento por
r(t) = (1,0,t), tin[0,1],
pois em t=0 temos (1,0,0) e em t=1 temos (1,0,1).

Passo 3

O vetor diferencial é
dr = r'(t),dt = (0,0,1),dt

Passo 4

Substituímos na força:
vec Fl(r(t)r) = l(1^2+0,;0^2+1,;t e^tr) = (1,1,,t e^t)

Passo 5

O produto escalar fica
vec Fl(r(t)r)cdot r'(t) =(1,1,t e^t)cdot(0,0,1) = t e^t
Logo o trabalho é
W = integralCvec Fcdotdr = integral0^1 t e^t,dt

Passo 6

Para calcular integral0^1 t e^t,dt usamos integração por partes: seja u=t e dv=e^tdt. Então du=dt e v=e^t, o que dá
integral t e^t,dt = t e^t - integral e^t,dt = e^t(t-1)+C

Passo 7

Avaliando de 0 a 1:
integral0^1 t e^t,dt =l[e^t(t-1)r]0^1 =l(ecdot0r)-l(1cdot(-1)r) =1

Resposta

O trabalho ao longo do segmento de reta é 1.

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