Considere a função y(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^nn! definida para x in R.
(a) Calcule y^prime(x)
(b) Verifique que y^prime(x)+y(x)=0

Passo 1

O enunciado define a função
y(x) = sumn=0^infty(-1)^n,x^nn!
e pede (a) a derivada y'(x) e (b) verificar que
y'(x)+y(x)=0
O conteúdo principal é derivação de série de potências, válida porque o raio de convergência é infinito.

Passo 2

Como a série converge absolutamente para todo x, podemos derivá-la termo a termo. Usando
ddxx^n=n,x^n-1, temos para n>=1
ddxl[(-1)^nx^nn!r] =(-1)^n,n,x^n-1n! =(-1)^n,x^n-1(n-1)!
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y'(x)=sumn=1^infty(-1)^n,x^n-1(n-1)!

Passo 3

Fazendo a troca de índice m=n-1, de modo que n=m+1 e m vai de 0 a infty, obtemos
y'(x) =summ=0^infty(-1)^m+1,x^mm! =-summ=0^infty(-1)^m,x^mm! =-,y(x)

Passo 4

Basta somar as duas expressões:
y'(x)+y(x) = -y(x)+y(x)=0,
o que conclui a verificação.

Resposta

(a) y'(x)=-y(x)
(b) De fato, y'(x)+y(x)=0

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