Considere a função
definida para
.
(a) Calcule
(b) Verifique que
(a) Calcule
(b) Verifique que
Passo 1
O enunciado define a função
e pede (a) a derivada
e (b) verificar que
O conteúdo principal é derivação de série de potências, válida porque o raio de convergência é infinito.
Passo 2
Como a série converge absolutamente para todo
, podemos derivá-la termo a termo. Usando
, temos para
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Passo 3
Fazendo a troca de índice
, de modo que
e
vai de 0 a
, obtemos
Passo 4
Basta somar as duas expressões:
o que conclui a verificação.
Resposta
(a)
(b) De fato,
(b) De fato,