Considere a função
e suponha que
Defina
e
como
e
. Usando a definição de limite verifique que
N.B. Isso justifica os argumentos usados no capítulo para verificar que
não tem limite quando
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
cujo limite em
é
. Definimos duas restrições de
:
e
. Precisamos mostrar, usando a definição
-
de limite, que
e
.
Passo 2
Lembrando a definição de limite em duas variáveis: dizemos que
se, para todo
, existe
tal que sempre que
vale
.
Passo 3
Para mostrar
, comece fixando um
. Como
, existe um
tal que, se
, então
. Agora, ao restringir em
, temos
. Portanto, sempre que
, segue
. Isso mostra que
.
Passo 4
O argumento para
é análogo. Fixe
e use o mesmo
obtido da hipótese
. Se
então
e assim
. Logo
.