Considere a função f: R^2 R e suponha que
lim (x, y) (0,0) f(x, y)=L
Defina g: R R e h: R R como g(x)=f(x, 0) e h(y)=f(0, y). Usando a definição de limite verifique que
lim x 0 g(x)=lim y 0 h(y)=L
N.B. Isso justifica os argumentos usados no capítulo para verificar que f(x, y)= (x^2-y^2) /(x^2+y^2) não tem limite quando (x, y) (0,0).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f: R^2 to R cujo limite em (0,0) é L. Definimos duas restrições de f: g(x)=f(x,0) e h(y)=f(0,y). Precisamos mostrar, usando a definição varepsilon- de de limite, que limxto0g(x)=L e limyto0h(y)=L.

Passo 2

Lembrando a definição de limite em duas variáveis: dizemos que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=L se, para todo varepsilon>0, existe de0 tal que sempre que raizx^2+y^2 vale |f(x,y)-L|.

Passo 3

Para mostrar limxto0g(x)=L, comece fixando um varepsilon>0. Como lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=L, existe um de0 tal que, se raizx^2+y^2, então |f(x,y)-L|. Agora, ao restringir em y=0, temos raizx^2+0^2=|x|. Portanto, sempre que |x|, segue |g(x)-L|=|f(x,0)-L|. Isso mostra que limxto0g(x)=L.

Passo 4

O argumento para h(y)=f(0,y) é análogo. Fixe varepsilon>0 e use o mesmo de obtido da hipótese lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=L. Se |y| então raiz0^2+y^2=|y| e assim |h(y)-L|=|f(0,y)-L|. Logo limyto0h(y)=L.

Resposta

limxto0g(x)=L e limyto0h(y)=L

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