Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Caso convirjam, determine a sua soma.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência de sumn=1^infty3(-14)^n-1 e, se convergir, calcular sua soma. O conteúdo envolve séries geométricas; vamos usar a definição de série geométrica e o critério de convergência |r|<1.

Passo 2

Reconhecemos que a série é do tipo geométrica com primeiro termo a=3 e razão r=-tfrac14, pois o termo geral de uma série geométrica se escreve como a,r^n-1.

Passo 3

Aplicamos o critério de convergência da série geométrica: ela converge se e somente se |r|<1. Aqui |r| = l| -tfrac14 r| = tfrac14 <1, logo a série converge.

Passo 4

Para séries geométricas convergentes, a soma é dada por S = dfraca1-r. Substituindo a=3 e r=-tfrac14 temos:
S = 31 - (-tfrac14) = 31 + tfrac14 = 3tfrac54 = 125

Resposta

A série converge e sua soma é 125.

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