Nos exercícios 38 a 47, calcular as derivadas parciais de
ordem.
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Passo 1
A função dada é f(x,y,z)=x^2 y z - x z. O objetivo é calcular as derivadas parciais de primeira, segunda e terceira ordem. Para isso vamos usar a definição de derivada parcial, a regra do produto e o fato de que monômios são fáceis de derivar separadamente.
Passo 2
Para as derivadas parciais de primeira ordem, derivamos em cada variável mantendo as outras constantes:
f_x: como f(x,y,z)=x^2 y z - x z é um produto em x, aplicamos a regra do produto em x^2 y e -z (que é constante em x):
f_x = 2x y z - z
f_y: só aparece em x^2 y z, então f_y = x^2 z
f_z: aparece em x^2 y z e -x z, então f_z = x^2 y - x
Passo 3
Para as derivadas parciais de segunda ordem, derivamos cada derivada de primeira ordem de novo em cada variável:
f_xx = ∂/∂x (2x y z - z) = 2 y z
f_xy = ∂/∂y (2x y z - z) = 2x z
f_xz = ∂/∂z (2x y z - z) = 2x y - 1
f_yy = ∂/∂y (x^2 z) = 0
f_yz = ∂/∂z (x^2 z) = x^2
f_zz = ∂/∂z (x^2 y - x) = 0
f_xy = ∂/∂y (2x y z - z) = 2x z
f_xz = ∂/∂z (2x y z - z) = 2x y - 1
f_yy = ∂/∂y (x^2 z) = 0
f_yz = ∂/∂z (x^2 z) = x^2
f_zz = ∂/∂z (x^2 y - x) = 0
Passo 4
Para as derivadas parciais de terceira ordem, derivamos as de segunda ordem mais uma vez em cada variável. Como muitas segundas ordens são constantes ou lineares, várias terceiras são zero:
f_xxx = ∂/∂x (2 y z) = 0
f_xxy = ∂/∂y (2 y z) = 2z
f_xxz = ∂/∂z (2 y z) = 2y
f_xyy = ∂/∂y (2x z) = 0
f_xyz = ∂/∂z (2x z) = 2x
f_xzz = ∂/∂z (2x y - 1) = 0
f_yyy = ∂/∂y (0) = 0
f_yyz = ∂/∂z (0) = 0
f_yzz = ∂/∂z (x^2) = 0
f_zzz = ∂/∂z (0) = 0
f_xxy = ∂/∂y (2 y z) = 2z
f_xxz = ∂/∂z (2 y z) = 2y
f_xyy = ∂/∂y (2x z) = 0
f_xyz = ∂/∂z (2x z) = 2x
f_xzz = ∂/∂z (2x y - 1) = 0
f_yyy = ∂/∂y (0) = 0
f_yyz = ∂/∂z (0) = 0
f_yzz = ∂/∂z (x^2) = 0
f_zzz = ∂/∂z (0) = 0
Resposta
f_x =
, f_y =
, f_z =
f_xx = , f_xy =
, f_xz =
, f_yy = 0, f_yz =
, f_zz = 0
f_xxx = 0, f_xxy = , f_xxz =
, f_xyy = 0, f_xyz =
, f_xzz = 0, f_yyy = 0, f_yyz = 0, f_yzz = 0, f_zzz = 0
f_xx =
f_xxx = 0, f_xxy =