Considere a função f: R R tal que
f(x)= x^2+4 x-5x-1, & se x<1 3, & se x=1 ln x^6x-1, & se x>1
Determine se f é contínua ou não. Se não for, explique se é possível obter uma função contínua mudando o valor de f em apenas um ponto.

Passo 1

Estamos analisando a continuidade da função f: ℝ→ℝ definida por partes, então o conteúdo é continuidade de funções definidas por partes; para isso precisamos verificar os limites laterais em x=1 e compará-los com f(1).

Passo 2

Para x<1, note que x²+4x−5=(x−1)(x+5), de modo que para x≠1 temos f(x)= x+5. Logo,
limxto1^-f(x)=1+5=6

Passo 3

Para x>1, usamos ln(x⁶)=6ln x e aplicamos L’Hôpital em 6ln xx-1: derivada do numerador é 6/x e do denominador é 1, dando
limxto1^+f(x)=limxto1^+6/x1=6

Passo 4

Como limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=6 mas f(1)=3, há descontinuidade em x=1, especificamente uma descontinuidade removível.
Basta então redefinir f(1)=6 para que o valor da função em x=1 coincida com o limite comum e assim f passe a ser contínua em todo ℝ.

Resposta

f não é contínua em x=1 (há descontinuidade removível). Redefinindo f(1)=6 obtém-se uma função contínua em todo ℝ.

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