(2,0 pontos) Calcule, caso exista e justifique caso não exista os seguintes limites:
lim (x, y) (0,0) x y^2 e^xx^2+3 y^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis f(x,y)=x y^2 e^xx^2+3y^4 quando (x,y)to(0,0). O assunto é limite em várias variáveis e vamos precisar usar o teste de diferentes caminhos para verificar se a função tende a um valor único.

Passo 2

Começando pelos caminhos mais simples: se y=0 então
f(x,0)=xcdot0^2e^xx^2+3cdot0^4=0
Se x=0 então
f(0,y)=0cdot y^2e^00^2+3y^4=0

Passo 3

Nos dois casos obtemos 0, mas isso não garante existência do limite geral. Precisamos testar um caminho que faça o denominador crescer na mesma ordem do numerador.

Passo 4

Considere o caminho y=raizkx com k>0 e xto0^+. Então temos y^2=kx e y^4=k^2x^2. Substituindo em f(x,y):
f(x,raizkx)=x,(kx),e^xx^2+3(k^2x^2)=kx^2e^xx^2(1+3k^2)=k e^x1+3k^2

Passo 5

Fazendo xto0 obtemos
limxto0f(x,raizkx)=k1+3k^2

Passo 6

Esse valor depende de k. Por exemplo, para k=0 0; para k=1 1/4. Como o limite varia conforme o caminho escolhido, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois ao longo de parabolas y=raizkx obtemos diferentes valores k/(1+3k^2).

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