(2,0 pontos) Calcule, caso exista e justifique caso não exista os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis
quando
. O assunto é limite em várias variáveis e vamos precisar usar o teste de diferentes caminhos para verificar se a função tende a um valor único.
Passo 2
Começando pelos caminhos mais simples: se
então
Se
Passo 3
Nos dois casos obtemos
, mas isso não garante existência do limite geral. Precisamos testar um caminho que faça o denominador crescer na mesma ordem do numerador.
Passo 4
Considere o caminho
com
e
. Então temos
e
. Substituindo em
:
Passo 5
Fazendo
obtemos
Passo 6
Esse valor depende de
. Por exemplo, para
dá
; para
dá
. Como o limite varia conforme o caminho escolhido, o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe, pois ao longo de parabolas
obtemos diferentes valores
.