Considere a função f: R R tal que
f(x)= x-x^3x-1, & se x<1 2, & se x=1 -3 x^2+3 x-2, & se x>1
Determine se f é contínua ou não. Se não for, explique se é possível obter uma função contínua mudando o valor de f em apenas um ponto.

Passo 1

Estamos lidando com a função por partes
f(x)= x-x^3x-1, & x<12, & x=1-3x^2+3x-2, & x>1
Queremos saber onde ela é contínua. Por definição, dentro de cada ramo (fração racional e polinômio) ela é contínua, resta checar o ponto de “troca” em x=1.

Passo 2

Para ver o limite à esquerda em x=1, simplificamos
x-x^3x-1=x(1-x^2)x-1=x(1-x)(1+x)x-1=-x(1+x), xneq1
Logo
limxto1^-f(x)=limxto1^-[-x(1+x)]=-1cdot2=-2

Passo 3

O limite à direita em x=1 basta substituir no polinômio:
limxto1^+f(x)=limxto1^+(-3x^2+3x-2)=-3+3-2=-2

Passo 4

Como limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=-2 mas f(1)=2, a função falha a condição limxto1f(x)=f(1). Logo há descontinuidade em x=1 (é uma descontinuidade removível).

Passo 5

Para tornar f contínua em todo R, basta redefinir
f(1)=-2
Com isso a função atendendo f(1)=limxto1f(x) fica contínua em x=1 e, portanto, em todo o domínio.

Resposta

f apresenta descontinuidade apenas em x=1; redefinindo f(1)=−2 obtemos uma função contínua em R.

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