Determine se f é contínua ou não. Se não for, explique se é possível obter uma função contínua mudando o valor de f em apenas um ponto.
Passo 1
Estamos lidando com a função por partes
f(x)= x-x^3x-1, & x<12, & x=1-3x^2+3x-2, & x>1
Queremos saber onde ela é contínua. Por definição, dentro de cada ramo (fração racional e polinômio) ela é contínua, resta checar o ponto de “troca” em x=1.
Passo 2
Para ver o limite à esquerda em x=1, simplificamos
O limite à direita em x=1 basta substituir no polinômio:
limxto1^+f(x)=limxto1^+(-3x^2+3x-2)=-3+3-2=-2
Passo 4
Como limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=-2 mas f(1)=2, a função falha a condição limxto1f(x)=f(1). Logo há descontinuidade em x=1 (é uma descontinuidade removível).
Passo 5
Para tornar f contínua em todo R, basta redefinir
f(1)=-2
Com isso a função atendendo f(1)=limxto1f(x) fica contínua em x=1 e, portanto, em todo o domínio.
Resposta
f apresenta descontinuidade apenas em x=1; redefinindo f(1)=−2 obtemos uma função contínua em R.