Estudiosos identificaram que a população de uma espécie rara de ave diminuía em 4 \% a cada ano. O tempo necessário, aproximado em anos, desde esta identificação até a população dessa espécie estar reduzida a sua quarta parte, é de
Dados: \log 0,25=-0,6021 e \log 0,96=-0,0177
(A) 28.
(B) 30 .
(C) 32 .
(D) 36 .
(E) 34 .

Passo 1

O enunciado pede o tempo aproximado, em anos, que leva para a população ficar reduzida à sua quarta parte, sabendo que ela diminui 4\% a cada ano. Dados fornecidos (pegue-os do enunciado):
  • A taxa de queda anual é de 4\%, logo o fator de multiplicação anual é 0,96 (pois 1-0,04=0,96).
  • Queremos quando a população fica igual a \dfrac{1}{4}=0,25 da população inicial.
  • Valores de logaritmos fornecidos: \log 0,25=-0,6021 e \log 0,96=-0,0177.

Passo 2

Modelagem do processo (explicando a ideia):
  • Se P_0 é a população inicial e P(t) a população após t anos, com redução de 4\% ao ano a cada ano a população é multiplicada por 0,96. Assim a fórmula é
P(t)=P_0\,(0,96)^{t}.
  • Isso é um modelo de decaimento geométrico discreto: a cada ano multiplica-se pela mesma constante 0,96.

Passo 3

Traduzir a condição “ficar reduzida à quarta parte”:
  • Queremos P(t)=\dfrac{P_0}{4}. Substituindo na fórmula,
P_0\,(0,96)^{t}=\dfrac{P_0}{4}.
  • Podemos simplificar P_0 (não é zero), ficando
(0,96)^{t}=0,25.

Passo 4

Resolver para t usando logaritmos (explicando a propriedade):
  • Propriedade usada: para qualquer base de logaritmo escolhida, \log(a^{t})=t\log a. Portanto, aplicando log em ambos os lados:
\log\bigl((0,96)^{t}\bigr)=\log(0,25)\quad\Longrightarrow\quad t\log(0,96)=\log(0,25).
  • Isolando t:
t=\dfrac{\log(0,25)}{\log(0,96)}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos dados e calcular (passo a passo, sem pular contas):
  • Substituindo os logs fornecidos:
t=\dfrac{-0,6021}{-0,0177}=\dfrac{0,6021}{0,0177}.
  • Para achar a divisão, faço uma verificação por multiplicação aproximada: 0,0177\times 34=0,6018. A diferença para 0,6021 é 0,0003.
  • Essa diferença corresponde a um acréscimo em t de aproximadamente \dfrac{0,0003}{0,0177}\approx 0,017.
  • Logo t\approx 34+0,017\approx 34,017. Podemos arredondar para duas casas como 34,02.

Passo 6

Interpretação e escolha da alternativa:
  • O enunciado pede tempo aproximado em anos e as alternativas são inteiros. O valor calculado \approx 34,02 está muito próximo de 34.
  • Portanto a alternativa correta é a que indica 34 anos.

Resposta

(E) 34.

Exercícios relacionados